专题四立体几何必考点空间位置关系证明与计算类型一学会踩点[例1](2016·高考全国甲卷)(本题满分12分)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．(1)证明：AC⊥HD′；(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝，OD′＝2，求五棱锥D′ABCFE的体积．解：(1)证明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD.又由AE＝CF得＝，故AC∥EF.(2分)由此得EF⊥HD，故EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.(4分)(2)由EF∥AC得＝＝.由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4.所以OH＝1，D′H＝DH＝3.于是OD′2＋OH2＝(2)2＋12＝9＝D′H2，故OD′⊥OH.(8分)由(1)知，AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′.又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以OD′⊥平面ABC.(10分)又由＝得EF＝.五边形ABCFE的面积S＝×6×8－××3＝.(11分)所以五棱锥D′ABCFE的体积V＝××2＝.(12分)评分细则：得分点及踩点说明(1)第一问：必须有两个关键关系：AC∥EF和EF⊥HD′两者缺一各扣2分，若两者都没有，第一问为0分．(2)第二问：必须有DO(BO)的求解过程，否则扣1分．(3)有OH，D′H(DH)的长度求解，否则扣1分．(4)有勾股定理的特征得出OD′⊥OH，无该点者扣2分．(5)AC⊥平面BHD′的条件有三条，不全者扣1分．(6)必须有OD′⊥平面ABC，条件不全者扣1分，无该点者扣2分．1．如图①，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF＝O.沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图②的五棱锥PABFED，且PB＝.图①图②(1)求证：BD⊥平面POA；(2)求四棱锥PBFED的体积．解：(1)证明： 点E，F分别是边CD，CB的中点，∴BD∥EF. 四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∴EF⊥AC，∴翻折后EF⊥AO，EF⊥PO， AO⊂平面POA，PO⊂平面POA，AO∩PO＝O，∴EF⊥平面POA，∴BD⊥平面POA.(2)设AO∩BD＝H，连接BO， ABCD是菱形，∴AB＝AD， ∠DAB＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD＝4，BH＝2，HA＝2，HO＝PO＝，在Rt△BHO中，BO＝＝，在△PBO中，BO2＋PO2＝10＝PB2，∴PO⊥BO， PO⊥EF，EF∩BO＝O，EF⊂平面BFED，BO⊂平面BFED，∴PO⊥平面BFED，又梯形BFED的面积为S＝(EF＋BD)·HO＝3，∴四棱锥PBFED的体积V＝S·PO＝×3×＝3.类型二学会审题[例2](2016·高考全国乙卷)如图，已知正三棱锥PABC的侧面是直角三角形，PA＝6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.(1)证明：G是AB的中点；(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积．审题路线图[规范解答](1) P在平面ABC的正投影为D，∴AB⊥PD因为D在平面PAB内的正投影为E，所以AB⊥DE.因为PD∩DE＝D，所以AB⊥平面PED，故AB⊥PG.又由已知可得，PA＝PB，所以G是AB的中点．(2)在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影．理由如下：由已知可得PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC.又PA∩PC＝P，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影．连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由(1)知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD＝CG.由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE＝PG，DE＝PC.由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA＝6，可得DE＝2，PE＝2.在等腰直角三角形EFP中，可得EF＝PF＝2，所以四面体PDEF的体积V＝××2×2×2＝.2．(2016·河北石家庄高三模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2，AP＝AD＝AB＝，∠PAB＝∠PAD＝α.(1)试在棱PA上确定一个点E，使得PC∥平面BDE，并求出此时的值；(2)当α＝60°时，求证：CD⊥平面PBD.解：(1)法一：连接AC，BD交于点F，在平面PCA中作EF∥PC交PA于E，连接BE，DE，因为PC⊄平面BDE，EF⊂平面BDE，所以PC∥平面BDE，因为AD∥BC，所以＝＝，因为EF∥PC，所以＝，所以＝＝＝.法二：在棱PA上取一点E，使得＝.连接AC，BD交于点F，连接EF，BE，DE，因为AD∥BC，所以＝＝，所以＝，所以EF∥PC，因为PC⊄平面BDE，EF⊂平面BDE，所以PC∥平面BDE.(2)证明：法一：取BC的中点G，连接DG，则四边...
