专题11三角形中正弦定理与余弦定理的灵活应用1.三角形的中线问题2.三角形中的角平分线问题3.三角形边的范围问题4.三角形中角的范围问题5.多个三角形的问题6.三角的实际应用7.三角形中的最值问题8.正余弦的混合及灵活应用9.三角形的判断问题二．陷阱警示及演练1.三角形的中线问题（运用向量陷阱）例1．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且。（1）求A的值；（2）若B=30°，BC边上的中线AM=，求△ABC的面积。【答案】（1）；（2）【解析】（1），因为又（2）【防陷阱措施】解决三角形中的角边问题时，要根据俄条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.练习1.在中，，，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）设的中点为，求中线的长．【答案】(1);(2).【解析】（Ⅰ）由知，且．所以.由正弦定理及题设得．即．所以．（Ⅱ）因为,所以为锐角.所以.因为，所以．所以．在中，为的中点，所以．由余弦定理及题设得．所以中线．练习2.中，内角的对边分别为,已知边，且.(1)若,求的面积；(2)记边的中点为，求的最大值，并说明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】，故，由余弦定理可得.（2）由于边的中点为，故，，由余弦定理知，，于是，而，的最大值为（当且仅当时取等号）.练习3.已知函数（Ⅰ）求函数的单调递增区间及其对称中心；（Ⅱ）在中，角，，所对的边分别为，，且角满足.若，边上的中线长为3，求的面积.【答案】（1）单调递增区间：，对称中心（2）【解析】（1）所以函数的单调递增区间：令，则对称中心2.三角形中的角平分线问题陷阱例2.如图，在中，，，，，是的三等分角平分线，分别交于点.（1）求角的大小；（2）求线段的长.【答案】（1）;（2）.【解析】（1）因为，即，得，又，则，所以.【防陷阱措施】角平分线问题要注意几个方面：（1）利用对称性，（2）利用角平分线定理，（3）利用三角形的面积练习1.在中，是上的点，平分，是面积的2倍．(1)求；(2)若，求和的长．【答案】（1）；（2），.【解析】（1） 是面积的2倍∴由正弦定理可知：（2）由（1）知，， 是面积的2倍∴设，由余弦定理得：，解得.练习2.已知的内角所对应的边分别为，且满足.（1）判断的形状；（2）若，，为角的平分线，求的面积.【答案】(1)直角三角形;(2)【解析】（I）由，得,,.,故为直角三角形.练习3.如图，在中，，且，.（1）求的面积；（2）已知在线段上，且，求的值.【答案】（1）；（2）.（2）依题意,，，即，故3.三角形边的范围问题陷阱例3.在中，内角的对边分别是，且.（1）求角的大小；（2）点满足，且线段，求的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】（1） ，由正弦定理得∴，即，又 ，∴ ∴（2）在中由余弦定理知：，∴ ，∴，即，当且仅当，即，时取等号，所以的最大值为4故的范围是.【防陷阱措施】在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.练习1.已知分别是的内角对的边，.（1）若，的面积为，求；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）首先根据三角形面积公式，，求解，再根据余弦定理,求；（2）根据正弦定理，用正弦表示表示，再根据三角函数恒等变形为，最后根据角的范围求解.试题解析：（1） ，的面积为，，∴，∴.由余弦定理得.∴.练习2.在中，内角的对边分别为，且．（1）求角的大小；（2）若，求的范围．【答案】(1);(2)范围为.【解析】（1）由及正弦定理可得， ，∴则有故，又 ，∴；（2）由正弦定理，，可得，∴= ，∴，∴，∴，即的范围为．练习3.在中，角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，且，求边长的取值范围.【答案】(1);(2).（2） ，∴，由正弦定理，得，∴， ，∴，∴，∴.练习4.已知函数.（Ⅰ）求函数的...
