高考数学复习点拨 例析四类特征函数的求解VIP免费

例析四类特征函数的求解所谓“特征函数”是指依据基本初等函数的特征产生的抽象函数问题；由于这类问题的函数解析式不明确，因此，往往很难下手，求解难度较大；本文例析四种常见的特征函数的求解，试图揭示求解规律，希望对你求解此类题的思路有所启发．例1、若函数)(xf满足)()()(yfxfyxf且0x时，0)(xf，求使1()3(fxf0)2x成立的x的范围分析：令0yx得0)0(f，再令xy得)()(xfxf那么xfyxf[)()()()()()](yfxfyfxfy设21xx，则012xx，此时0)()()(1212xfxfxxf即)()(12xfxf，因此，)(xf单调递减由1()3(fxf)12()3()21()3(0)2xfxfxfxfx123xx得：4x为所求范围．点评：本题是以axxf)(为特征的抽象函数问题，求解时，可参照原函数的性质；如：（1）单调性；（2）奇偶性；（3）“)()(xfyxf)(yf”与“)()()(yfxfyxf”同时成立等；例2、若函数0)(xf且满足)()()(yfxfxyf，试证：若1x时，1)(xf，则)(xf在),0(上单调递增．分析：令1yx得1)1(f，又)1()()1()1(xfxfxxff，得)(1)1(xfxf那么)()()1()()1()(yfxfyfxfyxfyxf设210xx，则112xx，由已知得1)(12xxf，即1)()(12xfxf也就是)()(12xfxf故)(xf在),0(上单调递增．点评：本题是以nxxf)(为特征的抽象函数问题，求解时，可参照此函数的性质；如用心爱心专心（1）0n时，函数在),0(上单调递增；（2）“)()()(yfxfxyf”与“)()()(yfxfyxf”同时成立；例3、若函数)(xf满足：当0xy时，)()()(yfxfxyf且)(xf不恒为零，当1x时，0)(xf，求使0)32()(xfxf成立的x的范围．分析：令1yx得0)1(f，又0)1(2)]1()1[()1(fff得0)1(f再令1y，得)1()()(fxfxf即)()(xfxf，)(xf为偶函数那么原不等式可变为)1()]32)([(fxxf，即)1(|)32(|fxf由)1()(2)1()()1()(22xfxfxfxfxxfxf，得)()1(xfxf，那么)()()1()()(yfxfyfxfyxf，于是设210xx，则112xx，得0)(12xxf，即0)()(12xfxf也就是)()(12xfxf，)(xf在),0(上为增函数0321|32|xx得231x或223x为所求的范围．点评：本题是以0(log)(axxfa且)1a为特征的抽象函数问题，求解时，可参照此函数的性质；如：（1）单调性（由1x时，0)(xf可想到1a）；（2）“)()(xfxyf)(yf”与“)()()(yfxfyxf”同时成立；当然，也有不同之处，对数函数是非奇非偶函数，而此抽象函数却是偶函数．例4、若函数)(xf满足)()()(yfxfyxf且0x时，1)(xf，当161)4(f时，求使41)32()32(xfxf成立的x的范围．分析：令xy得1)0(f，)(1)()0()0()(yfyffyfyf那么)()()()()]([)(yfxfyfxfyxfyxf，用心爱心专心又由0)2()22()(2xfxxfxf，41)2(161)2()4(2fff于是原不等式变为41)]32()32[(xxf即)2()1(fxf设21xx，则021xx，此时1)()()(2121xfxfxxf即)()(21xfxf，因此，)(xf单调递减由)2()1(fxf得21x即3x为所求范围．点评：本题是以0()(aaxfx且)1a为特征的抽象函数问题，求解时，可参照此函数的性质；如：（1）单调性（由0x时，1)(xf可想到10a）；（2）函数值域的特征（0y）．（3）“)()()(yfxfyxf”与“)()()(yfxfyxf”同时成立；上述是仿正比例函数（或一次函数）、幂函数、对数函数及指数函数的特征产生的抽象函数问题；虽然，看上去好象难度很大，但只要我们熟练掌握这些基本的初等函数的各种性质，借助这些性质进行分析、求解，会发现思路也很顺畅．用心爱心专心