第七节抛物线时间：45分钟分值：100分一、选择题1．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是()A.B.C．1D.解析抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，双曲线x2－＝1的渐近线是y＝±x，即x±y＝0.∴所求距离为＝.选B.答案B2．(2014·辽宁卷)已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A．－B．－1C．－D．－解析由已知，得准线方程为x＝－2，∴F的坐标为(2,0)．又A(－2,3)，∴直线AF的斜率为k＝＝－.故选C.答案C3．已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p>0)的准线相切，则p的值为()A．1B．2C.D．4解析圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝16，圆心为(3,0)，半径为4.圆心到准线的距离为3－＝4，解得p＝2.答案B4．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝()A．1B．2C．4D．8解析由抛物线方程y2＝x知，2p＝1，＝，即其准线方程为x＝－.因为点A在抛物线上，由抛物线的定义知|AF|＝x0＋＝x0＋，于是x0＝x0＋，解得x0＝1.答案A5．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若FP＝4FQ，则|QF|＝()A.B．3C.D．2解析如图，由抛物线的定义知焦点到准线的距离p＝|FM|＝4.过Q作QH⊥l于H，则|QH|＝|QF|.由题意，得△PHQ∽△PMF，则有＝＝，∴|HQ|＝3.∴|QF|＝3.答案B6．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于()A．－4B．4C．p2D．－p2解析①若焦点弦AB⊥x轴，则x1＝x2＝，则x1x2＝；②若焦点弦AB不垂直于x轴，可设AB：y＝k，联立y2＝2px得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，则x1x2＝.则y1y2＝－p2.故＝－4.答案A二、填空题7．若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程是________．解析由题意可知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6，所以其标准方程为x2＝12y.答案x2＝12y8．已知抛物线y2＝4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|＝4，则点M的横坐标x0＝________.解析抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1.根据抛物线的定义，点M到准线的距离为4，则M的横坐标为3.答案39．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.解析如图，在等边三角形ABF中，DF＝p，BD＝p，∴B点坐标为.又点B在双曲线上，故－＝1.解得p＝6.答案6三、解答题10．抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为2，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．解由题意，抛物线方程为x2＝2ay(a≠0)．设公共弦MN交y轴于A，则MA＝AN，而AN＝. ON＝3，∴OA＝＝2，∴N(，±2)． N点在抛物线上，∴5＝2a·(±2)，即2a＝±，故抛物线的方程为x2＝y或x2＝－y.抛物线x2＝±y的焦点坐标为，准线方程为y＝∓.11．已知抛物线y2＝4x截直线y＝2x＋m所得弦长AB＝3，(1)求m的值；(2)设P是x轴上的一点，且△ABP的面积为9，求P的坐标．解(1)由⇒4x2＋4(m－1)x＋m2＝0，由根与系数的关系得x1＋x2＝1－m，x1·x2＝，|AB|＝＝＝.由|AB|＝3，即＝3⇒m＝－4.(2)设P(a,0)，P到直线AB的距离为d，则d＝＝，又S△ABP＝|AB|·d，则d＝，＝⇒|a－2|＝3⇒a＝5或a＝－1，故点P的坐标为(5,0)或(－1,0)．1．已知抛物线C1：y＝x2(p>0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝()A.B.C.D.解析由题可知，抛物线开口向上且焦点坐标为，双曲线焦点坐标为(2,0)，所以两个焦点连线的直线方程为y＝－(x－2)．设M(x0，y0)，则有y′＝x0＝⇒x0＝p.因为y0＝x，所以y0＝.又M点在抛物线的切线上，即有＝－⇒p＝，故选D.答案D2．如图，抛物线C1：y2＝2px和圆C2：(x－)2＋y2＝，其中p>0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则AB·CD的值为()A．p2B.C.D.解析设抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，D(x2，y2)，则|AB|＝|AF|－|BF|＝x1＋－＝x1，同理|CD|＝x2.又AB·CD＝|AB||CD|＝x1·x2＝.答案B3．已知过点P(4,0)...
