考点43直线、平面垂直的判定与性质1．如图,在正方体中,,过直线的平面平面,则平面截该正方体所得截面的面积为（）A．B．C．D．【答案】D2．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，平面，是边长为2的等边三角形，若球的体积为，则直线与平面所成角的正切值为A．B．C．D．【答案】A【解析】取的中点，则为所求线面角，利用勾股定理求出即可得出答案．3．某四棱锥的三视图如图所示，其中每个小格是边长为1的正方形，则最长侧棱与底面所成角的正切值为（）A．B．C．D．【答案】A4．如图，四棱锥中，，//，，为正三角形.若，且与底面所成角的正切值为.（1）证明：平面平面；（2）是线段上一点，记（），是否存在实数，使二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）5．如图，在斜三棱柱中，底面是边长为的正三角形，，，.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）设为平面的法向量，则6．如图所示：四棱锥,底面为四边形，平面平面,,（1）求证：平面；（2）若四边形中，是否在上存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在求的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）1【解析】（1）设，连接,，为中点又，解，7．已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=900，BC=2，AC=，且AA1⊥A1C，AA1=A1C．（Ⅰ）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；（Ⅱ）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小。∴，由图形得侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角为锐角，∴侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小为600．【点睛】（1）用几何法求空间角时，要体现出“一作、二证、三计算”的步骤，即先作出所求的角，然后通过解三角形得到所求角的大小（或某一三角函数值）．（2）用向量法求空间角时，在求得两向量的夹角后，还要注意向量的夹角和所求空间角的关系，即要把向量的夹角转化为所求的空间角．8．（题文）（题文）在三棱锥中，，，．（1）求证：；（2）点为上一动点，设为直线与平面所形成的角，求的最大值．【答案】(1)见解析；（2）.则，，，，设，，，，∴，∴，即，∴，9．如图，在三棱柱中，，.(I)求证：;(II)在棱上取一点M,,若与平面所成角的正弦值为，求.【答案】（1）见解析（2）10．如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．(1)求证：EF⊥BC；(2)求二面角E－BF－C的正弦值．【答案】（1）见解析（2）则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝，因此sinθ＝＝，即二面角E－BF－C的正弦值为.11．如图，已知四棱锥的底面为菱形，，（1）求证：；（2）若，，，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）12．如图，在棱长为的正方体中，，分别在棱，上，且.（1）已知为棱上一点，且，求证：平面.（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）过作于点，连，则.易证：，于是.由13．如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，．（1）证明：；（2）若直线与平面所成角为30°，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】∴.则，设平面的法向量为.∴.则，∴，∴由图可知二面角的余弦值.14．如图，、分别是正三棱柱的棱、的中点，且棱，.（1）求证：平面；（2）若二面角的大小为，试求.【答案】（1）见解析；（2）.15．如图，已知四棱锥中，平面平面，平面平面，为上任意一点，为菱形对角线的交点。（1）证明：平面平面；（2）若，当四棱锥的体积被平面分成3：1两部分时，若二面角的大小为，求的值。【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）过点作于点G，由于平面面，所以面面，故；同理，过点作于，则面，面,且解法二：如图建立坐标系，设则，设则面的法向量为，设面面的法向量为，则16．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.(1)证明：CF⊥平面ADF；(2)求二面角DAFE的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明： PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PD⊥AD．又CD⊥AD，PD∩CD＝D，∴AD⊥平面PCD．又PC⊂平面PCD，∴AD⊥PC．又AF⊥PC...
