函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．概念方法微思考1．如果函数f(x)是奇函数或偶函数，则f(x)的定义域关于原点对称．2．已知函数f(x)满足下列条件，你能否得到函数f(x)的周期？(1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)．(2)f(x＋a)＝(a≠0)．(3)f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)．提示(1)T＝2|a|；(2)T＝2|a|；(3)T＝|a－b|.3．若f(x)对于定义域中任意x，均有f(x)＝f(2a－x)，或f(a＋x)＝f(a－x)，则函数f(x)关于直线x＝a对称．1．（2020·山东卷）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，，所以当时，，当时，，所以由可得：或或解得或，所以满足的的取值范围是，2.（2020·天津卷）已知函数．给出下列结论：①的最小正周期为；②是的最大值；③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．其中所有正确结论的序号是A.①B.①③C.②③D.①②③【答案】B【解析】因为，所以周期，故①正确；，故②不正确；将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，故③正确.3.（2020·江苏卷）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，，则f(-8)的值是____.【答案】-4【解析】，因为为奇函数，所以4．（2019·全国Ⅲ卷）设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则（）A．（log3）＞（）＞（）B．（log3）＞（）＞（）C．（）＞（）＞（log3）D．（）＞（）＞（log3）【答案】C【解析】是定义域为的偶函数，．，又在(0，+∞)上单调递减，∴，即.故选C．5．（2019·全国Ⅱ卷）设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】 ，． 时，；∴时，，；∴时，，，如图：当时，由解得，，若对任意，都有，则.则m的取值范围是.故选B.6．（2019·全国Ⅱ卷）已知是奇函数，且当时，.若，则__________．【答案】-3【解析】由题意知是奇函数，且当时，，又因为，，所以，两边取以为底数的对数，得，所以，即．7．（2019·北京卷）设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．【答案】【解析】首先由奇函数的定义得到关于a的恒等式，据此可得a的值，然后利用可得a的取值范围.，若函数为奇函数，则即，即对任意的恒成立，则，得.若函数是R上的增函数，则在R上恒成立，即在R上恒成立，又，则，即实数的取值范围是.8．（2019·江苏卷）设是定义在R上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是▲.【答案】【解析】作出函数，的图象，如图：由图可知，函数的图象与的图象仅有2个交点，即在区间(0，9]上，关于x的方程有2个不同的实数根，要使关于的方程有8个不同的实数根，则与的图象有2个不同的交点，由到直线的距离为1，可得，解得， 两点连线的斜率，∴，综上可知，满足在(0,9]上有8个不同的实数根的k的取值范围为.9．（2018·浙江卷）函数y=sin2x的图象可能是A．B．C．D．【答案】D【解析】令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，故选D．10．（2018·全国Ⅱ卷）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A．B．0C．2D．50【答案】C【解析】因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，因为，从而.故选C．11．（2018·江苏卷）函数满足，且在区间上，则的值为________．【答案】【解析】由得函数的周期为4，...
