第4节数列求和及综合应用【选题明细表】知识点、方法题号公式法、分组法求和1,7,12并项法求和2裂项相消法求和3,6,14错位相减法求和4,11数列的综合应用5,9,10,13,15数列的实际应用8基础对点练(时间:30分钟)1.数列{1+2n-1}的前n项和为(C)(A)1+2n(B)2+2n(C)n+2n-1(D)n+2+2n解析:由题意令an=1+2n-1,所以Sn=n+=n+2n-1,故选C.2.数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,则S17等于(A)(A)9(B)8(C)17(D)16解析:S17=(1-2)+(3-4)+…+(15-16)+17=-1×8+17=9.故选A.3.(2015鞍山校级四模)数列{an}的前n项和为Sn,若an=,则S5等于(B)(A)1(B)(C)(D)解析:因为an=-,所以Sn=（1-）+（-）+…+（-）=1-=.所以S5=.故选B.4.Sn=+++…+等于(B)(A)(B)(C)(D)解析:由Sn=+++…+,①得Sn=++…++,②①-②得,Sn=+++…+-=-,所以Sn=.5.(2015柳州校级一模)设数列{an}的前n项和为Sn,点（n,）(n∈N*)均在函数y=x+的图像上,则a2014等于(A)(A)2016(B)2015(C)2014(D)2017解析:因为数列{an}的前n项和为Sn,点（n,）(n∈N*)均在函数y=x+的图像上,所以=n+,所以Sn=n2+n=n(n+1),所以a2016=S2016-S2015=×2016×2017-×2015×2016=×2016×2=2016.故选A.6.(2015遵义校级二模)设函数f(x)=xm+ax的导函数f′(x)=2x+1,则数列｛｝(n∈N*)的前n项和是(A)(A)(B)(C)(D)解析:f′(x)=mxm-1+a=2x+1,所以a=1,m=2,所以f(x)=x(x+1),==-,｛｝的前n项和为Sn=+++…+=+++…+=1-+-+-+…+-=.故选A.7.(2015宁夏石嘴山高三联考)在数列{an}中,a1=1,a2=2,且an+2-an=1+(-1)n(n∈N*),则a1+a2+…+a51=.解析:因为数列{an}中,a1=1,a2=2,且an+2-an=1+(-1)n(n∈N*),所以a3-a1=0,a5-a3=0,…a51-a49=0,所以a1=a3=a5=…=a51=1.由a4-a2=2,得a4=2+a2=4,同理可得a6=6,a8=8,…,a50=50.所以a1+a2+a3+…+a51=(a1+a3+a5+…+a51)+(a2+a4+…+a50)=26+=676.答案:6768.现有一根n节的竹竿,自上而下每节的长度依次构成等差数列,最上面一节长为10cm,最下面的三节长度之和为114cm,第6节的长度是首节与末节长度的等比中项,则n=.解析:设自上而下每节竹竿的长度构成的等差数列为{an},由题意知,a1=10,an+an-1+an-2=114,=a1·an.所以3an-1=114,即an-1=38.(a1+5d)2=a1·(an-1+d),所以(10+5d)2=10×(38+d),即5d2+18d-56=0,解得d=2或d=-(舍去).所以an-1=10+(n-2)×2=2n+6=38,所以n=16.答案:169.对于每一个正整数n,设曲线y=xn+1在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lgxn,则a1+a2+…+a99=.解析:对y=xn+1求导得y′=(n+1)xn,则曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)·(x-1),令y=0,得xn=,则an=lgxn=lg,所以a1+a2+…+a99=lg（××…×）=lg=-2.答案:-210.(2015高考安徽卷)已知数列{an}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设Sn为数列{an}的前n项和,bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.解:(1)由题设知a1a4=a2a3=8,又a1+a4=9,可解得或(舍去).设等比数列{an}的公比为q,由a4=a1q3得q=2,故an=a1qn-1=2n-1.(2)Sn==2n-1,又bn===-,所以Tn=b1+b2+…+bn=（-）+（-）+…+（-）=-=1-.11.(2015高考天津卷)已知{an}是各项均为正数的等比数列,{bn}是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.(1)求{an}和{bn}的通项公式;(2)设cn=anbn,n∈N*,求数列{cn}的前n项和.解:(1)设数列{an}的公比为q,数列{bn}的公差为d,由题意知q>0.由已知,有消去d,整理得q4-2q2-8=0.解得q2=4.又因为q>0,解得q=2,所以d=2.所以数列{an}的通项公式为an=2n-1,n∈N❋;数列{bn}的通项公式为bn=2n-1,n∈N❋.(2)由(1)有cn=(2n-1)×2n-1,设{cn}的前n项和为Sn,则Sn=1×20+3×21+5×22+…+(2n-3)×2n-2+(2n-1)×2n-1,2Sn=1×21+3×22+5×23+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n,上述两式相减,得-Sn=1+22+23+…+2n-(2n-1)×2n=2n+1-3-(2n-1)×2n=-(2n-3)×2n-3,所以,Sn=(2n-3)×2n+3,n∈N❋.能力提升练(时间:15分钟)12.(2015房山区二模)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,2Sn=an+1,则Sn等于(C)(A)2n-1(B)2n-1(C)3n-1(D)(3n-1)解析:当n=1时,因为a1=1,2S1=a2,所以a2=2.当n≥2时,由2Sn=an+1,2Sn-1=an,两式相减得2an=an+1-an,所以an+1=3an,所以数列{an}是从第2项开始以a2=2为首项,3为公比的等比数列,所以Sn=a1+=3n-1,当n=1时,上式...
