第三节三角函数的图象与性质【最新考纲】1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性．1．周期函数和最小正周期对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，则称f(x)为周期函数，T为它的一个周期．若在所有周期中，有一个最小的正数，则这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)常数函数f(x)＝ɑ是周期函数，它没有最小正周期．()(2)函数y＝sinx的图象关于点(kπ，0)(k∈Z)中心对称．()(3)正切函数y＝tanx在定义域内是增函数．()(4)函数y＝sincosx是奇函数．()答案：(1)√(2)√(3)×(4)×2．(2014·陕西卷)函数f(x)＝cos的最小正周期是()A.B．πC．2πD．4π解析：T＝＝＝π.答案：B3．已知函数y＝2cosx的定义域为，值域为[ɑ，b]，则b－ɑ的值是()A．2B．3C.＋2D．2－解析：因为x∈，所以cosx∈，故y＝2cosx的值域为[－2，1]，所以b－ɑ＝3.答案：B4．函数f(x)＝sin的图象的一条对称轴是()A．x＝B．x＝C．x＝－D．x＝－解析：令x－＝kπ＋，k∈Z，∴x＝kπ＋π，k∈Z.取k＝－1，得x＝－.答案：C5．(2015·四川卷)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是()A．y＝cosB．y＝sinC．y＝sin2x＋cos2xD．y＝sinx＋cosx解析：y＝cos＝－sin2x，最小正周期T＝＝π，且为奇函数，其图象关于原点对称故A正确；y＝sin＝cos2x，最小正周期为π，且为偶函数，其图象关于y轴对称，故B不正确；C，D均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故C，D不正确．答案：A两个结论1．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．2．函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期T＝，y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝.两种方法1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)的形式．2．求三角函数值域(最值)的常用方法：(1)将函数变形化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)．(2)换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求二次函数在区间上的值域(最值)问题．三点注意1．求y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0)的单调区间，要注意ω的正负，只有当ω＞0时，才能将“ωx＋φ”整体代入相应单调区间．2．利用换元法求三角函数最值时，注意cosx(或sinx)的有界性．3．正、余弦函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形且最值点在对称轴上；正切函数的图象只是中心对称图形．一、选择题1．若函数f(x)＝sin(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ的值是()A.B.C.D.解析：f(x)＝sin是偶函数．∴＝kπ＋，即φ＝3kπ＋π，k∈Z.又φ∈[0，2π]，取k＝0，得φ＝π.答案：C2．(2014·课标全国Ⅰ卷)在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为()A．①②③B．①③④C．②④D．①③解析：由于y＝cos|2x|＝cos2x，所以该函数的周期为＝π；由函数y＝|cosx|的图象易知其周期为π；函数y＝cos的周期为＝π；函数y＝tan的周期为，故最小正周期为π的函数是①②③.答案：A3．若函数y＝cos(ωx＋)(ω∈N*)图象的一个对称中心是(，0)，则ω的最小值为()A．1B．2C．4D．8解析：由题知＋＝kπ＋(k∈Z)⇒ω＝6k＋2(k∈Z)⇒ωmin＝2.答案：B4．(2016·河北衡水中学三模)将函数y＝sin的图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是()A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝－解析：由题意知平移后的函数解析式为y＝sin＝sin，令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，则x＝＋(k∈Z)．结合选项知，选A正确．答案：A5．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则()A．f(x)在上单调递减B．f(x)在上单调递减C．f(x)在上单调递增D．f(x)在上单调递增解析：由T＝π，知ω＝2，则f(x)＝sin(2x＋...
