高考数学复习点拨 圆锥曲线新题型选编VIP免费

圆锥曲线新题型选编一、与作图有关的创新题例1（1）已知椭圆C的方程是22221(0)xyabab．设斜率为k的直线l，交椭圆C于AB，两点，AB的中点为M．证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上．（2）利用（1）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.解：（1）设直线l的方程为ykxm，与椭圆C的交点1122()()AxyBxy，，，，则有22221ykxmxyab，，解得222222222()20bakxakmxamab．0∵，2222mbak∴，即222222bakmbak．则2122222akmxxbak，212122222bmyykxmkxmbak．AB∴中点M的坐标为22222222akmbmbakbak．∴线段AB的中点M在过原点的直线220bxaky上．（2）如图1，作两条平行直线分别交椭圆于AB，和CD，，并分别取ABCD，的中点MN，连结直线MN；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于11AB，和11CD，，并分别取1111ABCD，的中点11MN，，连接直线11MN，那么直线MN和11MN的交点O即为椭圆中心．二、与折纸有关的创新题例2如图2，有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD，按图示方法进行折叠，使每次折叠后点B都落在AD边上，此时将B记为B（注：图中EF为折痕，点F也可落在边CD上）．过B作BTCD∥交EF于T点，求T点的轨迹方程．解：如图3，以边AB的中点O为原点，AB边所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则(02)B，．因为BTBT，BTAD根据抛物线的定义，T点的轨迹是以点B为焦点，AD为准线的抛物线的一部分．设()4TxyAB，，，即定点B到定直线AD的距离为4，∴抛物线方程为28xy．在折叠中，线段AB长度AB在区间04，内变化，而xAB，04x∴≤≤．用心爱心专心1故T点的轨迹方程为28(04)xyx≤≤．三、与立体几何有关的创新题例3如图4，具有公共y轴的两个直角坐标平面和所成的二面角y等于60°．已知内的曲线C的方程是22(0)ypxp，求曲线C在内的射影的曲线方程．解：在内，设点()Mxy，是曲线C上任意一点（如图5），过点M作MN，垂足为N，过N作NMy轴．所以MHN是二面角y的平面角，依题意60MHN°．在MNHRt△中，1cos602HNHMx·°．又知HMx∥轴（或M与O重合），HNx∥轴（或H与O重合），设()Nxy，，则12xxyy，，2xxyy，．∴因为点()Mxy，在曲线22(0)ypxp上，所以22(2)ypx，即所求射影的方程为24(0)ypxp上，所以22(2)ypxx，即所求射影的方程为24(0)ypxp．四、与定义新运算有关的创新题例4设12xxR，．常数0m，定义运算“”：22121212()()xxxxxx．（1）若0xyxm，≥，求动点()Pxy，的轨迹C的方程并说明轨迹C的形状；（2）设()Axy，是坐标平面上任一点，定义11()()()2dAxxyy，21()()()2dAxmxm，计算12()()dAdA，，并说明1()dA和2()dA的几何意义．解：（1）2212121212()()4xxxxxxxx∵，4yxmmx∴轨迹C的方程为24(0)ymxy≥，故轨迹C是抛物线24ymx位于x轴及x轴上方的一部分．（2）2222111()()()4422dAxxyyxyxy，2211()()()4()22dAxmxmxmxm．12()()dAdA，∴分别为点A到原点，点A到直线xm的距离．用心爱心专心2