专题40离心率的求值或取值范围问题【高考地位】圆锥曲线的离心率是近年高考的一个热点,有关离心率的试题,究其原因,一是贯彻高考命题“以能力立意”的指导思想,离心率问题综合性较强,灵活多变,能较好反映考生对知识的熟练掌握和灵活运用的能力,能有效地反映考生对数学思想和方法的掌握程度;二是圆锥曲线是高中数学的重要内容,具有数学的实用性和美学价值,也是以后进一步学习的基础.【方法点评】方法1定义法解题模板：第一步根据题目条件求出的值第二步代入公式，求出离心率.例1.在平面直角坐标系中,若双曲线的离心率为,则的值为．【答案】【变式演练1】点P（-3，1）在椭圆（）的左准线上，过点且方向为的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）ABCD【答案】方法2方程法解题模板：第一步设出相关未知量；第二步根据题目条件列出关于的方程；第三步化简，求解方程，得到离心率.例2.【2018黑龙江省牡丹江市第一高级中学模拟】已知椭圆的左焦点为，右焦点为.若椭圆上存在一点，且以椭圆的短轴为直径的圆与线段相切于线段的中点，则该椭圆的离心率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】如图，设以椭圆的短轴为直径的圆与线段相切于点，连接分别是的中点，，且，，根据椭圆的定义，，，两边平方得：，代入并化简得，，，即椭圆的离心率为，故选D.例3.如图，，是双曲线的左、右两个焦点，若直线与双曲线交于、两点，且四边形为矩形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】.【变式演练2】焦点在轴上的椭圆方程为，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形的面积相等得得，，即，故选C.考点：椭圆的标准方程与几何性质.【变式演练3】【2018四川省成都市第七中学模拟】已知分别是双曲线的左、右焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心、为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）A.3B.C.2D.【答案】C方法3借助平面几何图形中的不等关系解题模板：第一步根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，第二步将这些量结合曲线的几何性质用进行表示，进而得到不等式，第三步解不等式，确定离心率的范围.例4已知椭圆的中心在,右焦点为，右准线为，若在上存在点，使线段的垂直平分线经过点F，则椭圆的离心率的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】【解析】如果注意到形助数的特点，借助平面几何知识的最值构建使问题简单化.【点评】离心率的范围实质为一个不等式关系，如何构建这种不等关系？可以利用方程和垂直平分线性质构建.利用题设和平面几何知识的最值构建不等式往往使问题简单化.【变式演练4】已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．方法4借助题目中给出的不等信息解题模板：第一步找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，的范围等；第二步列出不等式，化简得到离心率的不等关系式，从而求解.例5已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是()A.(1，＋∞)B.(1,2]C.(1，]D.(1,3]【答案】D【解析】双曲线的左右焦点分别为为双曲线右支一的任意一点，，，当且仅当，即时取等号，，，，，故选D.【变式演练5】【2018广西贺州市桂梧高中模拟】过双曲线的右焦点作轴的垂线，与在第一象限的交点为，且直线的斜率大于2，其中为的左顶点，则的离心率的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】，，∴，∴.选B.方法5借助函数的值域求解范围解题模板：第一步根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；第二步通过确定函数的定义域；第三步利用函数求值域的方法求解离心率的范围.例6.【2018河南省郑州市第一中学模拟】已知椭圆与双曲线的焦点重合,分别为的离心率,则的取值范围为A.B.C.D.【答案】C【变式演练6】是经过双曲线焦点且与实轴垂直的...
