大题规范练(二)“17题～19题＋二选一”46分练(时间：45分钟分值：46分)解答题(本大题共4小题，共46分，第22～23题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．如图4，已知点O为△ABC的外心，∠BAC，∠ABC，∠ACB的对边分别为a，b，c，且2OA＋3OB＋4OC＝0.图4(1)求cos∠BOC的值；(2)若△ABC的面积为，求b2＋c2－a2的值.【导学号：07804231】[解](1)设△ABC外接圆的半径为R，由2OA＋3OB＋4OC＝0得3OB＋4OC＝－2OA，两边平方得9R2＋16R2＋24R2cos∠BOC＝4R2，所以cos∠BOC＝＝－.(2)由题意可知∠BOC＝2∠BAC，∠BAC∈，cos∠BOC＝cos2∠BAC＝2cos2∠BAC－1＝－，从而cos∠BAC＝，所以sin∠BAC＝＝，△ABC的面积S＝bcsin∠BAC＝bc＝，故bc＝8，从而b2＋c2－a2＝2bccos∠BAC＝2×8×＝4.18．某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示：特征量第1次第2次第3次第4次第5次x555559551563552y601605597599598(1)从特征量y的5次试验数据中随机地抽取两个数据，求至少有一个大于600的概率；(2)求特征量y关于x的线性回归方程y＝bx＋a，并预测当特征量x为570时特征量y的值．(附：回归直线y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘估计分别为b＝，a＝－b)[解](1)记“至少有一个大于600”为事件A，则P(A)＝1－＝.(2)由题中表格可知，＝＝556，＝＝600.∴b＝＝＝0.3，a＝－b＝600－0.3×556＝433.2，∴线性回归方程为y＝0.3x＋433.2.当x＝570时，y＝0.3×570＋433.2＝604.2，故特征量x为570时，特征量y的估计值为604.2.19．在平面四边形ACBD(如图5(1))中，△ABC与△ABD均为直角三角形且有公共斜边AB，设AB＝2，∠BAD＝30°，∠BAC＝45°，将△ABC沿AB折起，构成如图5(2)所示的三棱锥C′ABD，且使C′D＝.图5(1)图5(2)(1)求证：平面C′AB⊥平面DAB；(2)求二面角AC′DB的余弦值．[解](1)证明：取AB的中点O，连接C′O，DO，在Rt△AC′B，Rt△ADB中，AB＝2，C′O＝DO＝1.又∵C′D＝，∴C′O2＋DO2＝C′D2，即C′O⊥OD.又∵C′O⊥AB，AB∩OD＝O，AB，OD⊂平面ABD，∴C′O⊥平面ABD.又∵C′O⊂平面ABC′，∴平面C′AB⊥平面DAB.(2)以O为原点，AB，OC′所在的直线分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A(0，－1,0)，B(0,1,0)，C′(0,0,1)，D，∴AC′＝(0,1,1)，BC′＝(0，－1,1)，C′D＝.设平面AC′D的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则即令z1＝1，则y1＝－1，x1＝，∴n1＝(，－1,1)．设平面BC′D的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则即令z2＝1，则y2＝1,x2＝，∴n2＝，∴cos〈n1，n2〉＝＝＝，二面角AC′DB的余弦值为－.(请在第22～23题中选一题作答，如果多做，则按照所做第一题计分)22．选修4－4：标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是(t为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋2ρ2sin2θ＝12，且直线l与曲线C交于P，Q两点．(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l恒过的定点A的坐标；(2)在(1)的条件下，若|AP||AQ|＝6，求直线l的普通方程．[解](1)∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴C：x2＋2y2＝12.直线l恒过的定点为A(2,0)．(2)把直线l的方程代入曲线C的直角坐标方程中得：(sin2α＋1)t2＋4(cosα)t－8＝0.由t的几何意义知|AP|＝|t1|，|AQ|＝|t2|.∵点A在椭圆内，这个方程必有两个实根，∴t1t2＝－，∵|AP||AQ|＝|t1t2|＝6，即＝6，∴sin2α＝，∵α∈(0，π)，∴sinα＝，cosα＝±，∴直线l的斜率k＝±，因此，直线l的方程为y＝(x－2)或y＝－(x－2)．23．选修45：不等式选讲已知函数f(x)＝|x－3|＋|x＋m|(x∈R)．(1)当m＝1时，求不等式f(x)≥6的解集；(2)若不等式f(x)≤5的解集不是空集，求参数m的取值范围.【导学号：07804232】[解](1)当m＝1时，f(x)≥6等价于，或，或，解得x≤－2或x≥4，所以不等式f(x)≥6的解集为{x|x≤－2或x≥4}．(2)法一：化简f(x)得，当－m≤3时，f(x)＝，当－m＞3时，f(x)＝根据题意得：，即－3≤m≤2，或，即－8≤m＜－3，∴参数m的取值范围为{m|－8≤m≤2}．法二：∵|x－3|＋|x＋m|≥|(x－3)－(x＋m)|＝|m＋3|，∴f(x)min＝|3＋m|，∴|m＋3|≤5，∴－8≤m≤2，∴参数m的取值范围为{m|－8≤m≤2}．
