高考数学 《解析几何最值和参数范围问题的求解策略》VIP专享VIP免费

解析几何最值和参数范围问题的求解策略解析几何问题常常围绕“形助数”和“数研究形”展开.圆锥曲线的最值和范围问题目标函数化归函数最值求解是通法.若能抓住定义的本质属性和曲线方程的几何特征，往往能寻求到最值问题的简捷解题途径.要充分认识和体验某些几何量的几何意义，重视“形助数”和“数研究形”的简化运算的功能.1（05）全国P、Q、M、N四点都在椭圆上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.解：本小题主要考查椭圆和直线的方程与性质，两条直线垂直的条件，两点间的距离等基本知识及综合分析能力.突显依据几何条件的特征构建目标函数，换元化归函数值域求解最值。依据四边形对角线垂直的面积公式，“设而不解整体思维”，用弦长公式切入类比，如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（0，1），且PQ⊥MN，直线PQ、MN中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为k.又PQ过点F（0，1），故PQ方程为将此式代入椭圆方程得设P、Q两点的坐标分别为（i）,同上可类比推得故四边形面积如何研究最值？整体变量观念“换元法”简化，1因为2212ukk（ii）当k=0时，MN为椭圆长轴，、,综合（i），（ii）知，四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为2（05广东）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图4所示）.（Ⅰ）求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（Ⅱ）△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由解：本小题主要考查椭圆和直线的方程与性质，两条直线垂直的条件，两点间的距离，等基本知识及综合分析能力.构建目标函数化归不等式求最值解决。代入法求轨迹方程切入，（Ⅰ）设△AOB的重心为G（），A（），B（），则（1） OA⊥OB∴（2）又点A，B在抛物线上，有，代入（2）化简得所以重心为G的轨迹方程为（II）构建目标函数，注意为定值用不等式求解由（I）得，当且仅当即时，等号成立.所以△AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1；3（05全国3）设两点在抛物线上，l是AB的垂直平分线.（1）当且仅当取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；2（2）当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围.解：借助判别式构建不等式求解范围问题产生思维方法1：（1）两点到抛物线的准线的距离相等. 抛物线的准线是x轴的平行线，不同时为0，∴上述条件等价于 ，∴上述条件等价于即当且仅当时，l经过抛物线的焦点F.（2）设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为；过点A、B的直线方程可写为，所以满足方程得；A，B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式即设AB的中点N的坐标为，则由即得l在y轴上截距的取值范围为（）.“代点作差,整体思维”探究，用不等式求范围产生思维方法2，（1）由题设AB的斜率必存在.若AB的斜率不为0，用代点作差法构造矛盾与非负数矛盾；，过焦点若81,2021281,8102212:,2,2,221212121212121212121222211yyxxxxyyLxxxxxyyyLxxxxyykxyxyAB若AB的斜率为0，此时A和B在抛物线上且关于y轴对称，此时L为y轴且过抛物线的焦点，且021xx；综上所述，021xx时，直线L过抛物线的焦点；（2）“用代点作差法”沟通关系，均值不等式求值域，由（1）“用代点作差法”的探究知3.,329329413214121,4141412,0212,2212:212212122212121212121为轴上的截距的取值范围在故直线，取不到等号，因令且yLxxxxbxxxxyyybxxxxxxxxyyyL4（04辽宁）设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：（1）动点P的轨迹方程；（2）的最小值与最大值.4解：本小题主要考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等基础知识，以及轨迹的求法与应用、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.（1）认识向量加法的几何意义化归如何解决弦的中点的轨...