第2讲数列的求和及综合应用一、选择题1．已知数列1，3，5，7，…，则其前n项和Sn为()A．n2＋1－B．n2＋2－C．n2＋1－D．n2＋2－解析：an＝(2n－1)＋，所以Sn＝＋＝n2＋1－.答案：A2．(2016·天津卷)设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：若对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0，则a1＋a2＜0，又a1＞0，所以a2＜0，所以q＝＜0.若q＜0，可取q＝－1，a1＝1，则a1＋a2＝0不满足对∀n∈N*，a2n－1＋a2n＜0.所以“q＜0”是“∀n∈N*，a2n－1＋a2n＜0”的必要不充分条件．答案：C3．(2017·东北三省四市二模)已知数列{an}满足an＋1－an＝2，a1＝－5，则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝()A．9B．15C．18D．30解析：因为an＋1－an＝2，a1＝－5，所以数列{an}是公差为2的等差数列．所以an＝－5＋2(n－1)＝2n－7.数列{an}的前n项和Sn＝＝n2－6n.令an＝2n－7≥0，解得n≥.所以n≤3时，|an|＝－an；n≥4时，|an|＝an.则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝－a1－a2－a3＋a4＋a5＋a6，S6－2S3＝62－6×6－2(32－6×3)＝18.答案：C4．(2017·湘潭三模)已知Tn为数列的前n项和，若m＞T10＋1013恒成立，则整数m的最小值为()(导学号54850115)A．1026B．1025C．1024D．1023解析：因为＝1＋，所以Tn＝n＋＝n＋1－，所以T10＋1013＝11－＋1013＝1024－.又m＞T10＋1013，所以整数m的最小值为1024.答案：C5．(2017·湖南衡阳联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知(a5－1)3＋3a5＝4，(a8－1)3＋3a8＝2，则下列选项正确的是()A．S12＝12，a5＞a8B．S12＝24，a5＞a8C．S12＝12，a5＜a8D．S12＝24，a5＜a8解析：设f(x)＝x3＋3x，易知f(x)在R上为奇函数且单调递增．所以f(a5－1)＋f(a8－1)＝0，(a5－1)＞(a8－1)，a5＞a8，(a5－1)＋(a8－1)＝0，S12＝＝12.答案：A二、填空题6．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”．若a1＝1，{an}的“差数列”的通项公式为an＋1－an＝2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________．解析：因为an＋1－an＝2n，应用累加法可得an＝2n－1，所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝2＋22＋23＋…＋2n－n＝－n＝2n＋1－n－2.答案：2n＋1－n－27．(2017·潮州二模)已知Sn为数列{an}的前n项和，an＝2·3n－1(n∈N*)，若bn＝，则b1＋b2＋…＋bn＝________．解析：易知数列{an}是以2为首项，3为公比的等比数列，所以Sn＝＝3n－1，又bn＝＝＝－，则b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝－＝－.答案：－8．(2017·广东清远一中模拟)已知正项等比数列{an}满足：a3＝a2＋2a1，若存在两项am，an，使得＝4a1，则＋的最小值为________．解析：因为正项等比数列{an}满足：a3＝a2＋2a1，所以a1q2＝a1q＋2a1，则q2＝q＋2，所以q＝2.又＝4a1，得a12m－1·a12n－1＝16a，所以a·2m＋n－2＝16a，所以m＋n＝6.所以＋＝＝≥＝，所以＋的最小值是.答案：三、解答题9．(2016·全国卷Ⅱ)等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解：(1)设数列{an}的公差为d，由题意有2a1＋5d＝4，a1＋5d＝3.解得a1＝1，d＝.所以{an}的通项公式为an＝.(2)由(1)知，bn＝.当n＝1，2，3时，1≤＜2，bn＝1；当n＝4，5时，2≤＜3，bn＝2；当n＝6，7，8时，3≤＜4，bn＝3；当n＝9，10时，4≤＜5，bn＝4.所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.10．已知等比数列{an}中，an＋an＋1＝3×2n－1.(1)求{an}的通项公式和前n项和Sn；(2)设bn＝，令Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn和Tn的最小值．解：(1)设等比数列{an}的公比为q.在an＋an＋1＝3×2n－1中，令n＝1，n＝2，解得所以an＝2n－1，Sn＝＝2n－1.(2)由题意知bn＝＝－，Tn＝＋＋…＋＝－＝1－因为Tn＋1－Tn＝－＝＞0，所以{Tn}单调递增，所以(Tn)min＝T1＝.11．(2017·衡水中学质检)若数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝2，且anbn＋bn＝nbn＋1.(导学号54850116)(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}满足cn＝，数列{cn}的前...
