高考大题专项练四高考中的立体几何1.(2018全国Ⅱ,文19)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2❑√2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO⊥平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.(1)证明因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=2❑√3.连接OB,因为AB=BC=❑√22AC,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB=12AC=2.由OP2+OB2=PB2知,OP⊥OB.由OP⊥OB,OP⊥AC知PO⊥平面ABC.(2)解作CH⊥OM,垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH,所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知OC=12AC=2,CM=23BC=4❑√23,∠ACB=45°.所以OM=2❑√53,CH=OC·MC·sin∠ACBOM=4❑√55.所以点C到平面POM的距离为4❑√55.2.(2018北京,文18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.求证:(1)PE⊥BC;(2)平面PAB⊥平面PCD;(3)EF∥平面PCD.证明(1)因为PA=PD,E为AD的中点,所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形,所以BC∥AD,所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形,所以AB⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD,所以AB⊥平面PAD,所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD,所以PD⊥平面PAB.所以平面PAB⊥平面PCD.(3)如图,取PC的中点G,连接FG,DG.因为F,G分别为PB,PC的中点,所以FG∥BC,FG=12BC.因为四边形ABCD为矩形,且E为AD的中点,所以DE∥BC,DE=12BC.所以DE∥FG,DE=FG.所以四边形DEFG为平行四边形.所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD,DG⊂平面PCD,所以EF∥平面PCD.3.由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD.(1)证明:A1O∥平面B1CD1;(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM⊥平面B1CD1.证明(1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1∥OC,A1O1=OC,因此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1O∥O1C.又O1C⊂平面B1CD1,A1O⊄平面B1CD1,所以A1O∥平面B1CD1.(2)因为AC⊥BD,E,M分别为AD和OD的中点,所以EM⊥BD,又A1E⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以A1E⊥BD,因为B1D1∥BD,所以EM⊥B1D1,A1E⊥B1D1.又A1E,EM⊂平面A1EM,A1E∩EM=E,所以B1D1⊥平面A1EM,又B1D1⊂平面B1CD1,所以平面A1EM⊥平面B1CD1.4.如图,在底面是菱形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,∠ABC=60°,AA1=AC=2,A1B=A1D=2❑√2,点E在A1D上.(1)证明:AA1⊥平面ABCD;(2)当A1EED为何值时,A1B∥平面EAC,并求出此时三棱锥D-AEC的体积.(1)证明因为底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,所以AB=AD=AC=2.在△AA1B中,由AA12+AB2=A1B2,知AA1⊥AB.同理,AA1⊥AD.又因为AB∩AD于点A,所以AA1⊥平面ABCD.(2)解当A1EED=1时,A1B∥平面EAC.证明如下:连接BD交AC于O,当A1EED=1,即点E为A1D的中点时,连接OE,则OE∥A1B,所以A1B∥平面EAC.设AD的中点为F,连接EF.则EF∥AA1,所以EF⊥平面ACD,且EF=1,可求得S△ACD=❑√3.所以VE-ACD=13×1×❑√3=❑√33,即VD-AEC=VE-ACD=❑√33.5.如图,AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,点V是圆O所在平面外一点,D是AC的中点,已知AB=2,VA=VB=VC=2.(1)求证:OD∥平面VBC;(2)求证:AC⊥平面VOD;(3)求棱锥C-ABV的体积.(1)证明 O,D分别是AB和AC的中点,∴OD∥BC.又OD⊄平面VBC,BC⊂平面VBC,∴OD∥平面VBC.(2)证明 VA=VB,O为AB中点,∴VO⊥AB.连接OC,在△VOA和△VOC中,OA=OC,VO=VO,VA=VC,∴△VOA≌△VOC,∴∠VOA=∠VOC=90°,∴VO⊥OC.又AB∩OC=O,AB⊂平面ABC,OC⊂平面ABC,∴VO⊥平面ABC.又AC⊂平面ABC,∴AC⊥VO.又VA=VC,D是AC的中点,∴AC⊥VD. VO⊂平面VOD,VD⊂平面VOD,VO∩VD=V,∴AC⊥平面VOD.(3)解由(2)知VO是棱锥V-ABC的高,且VO=❑√VA2-AO2=❑√3.又点C是弧AB的中点,∴CO⊥AB,且CO=1,AB=2.∴三角形ABC的面积S△ABC=12AB·CO=12×2×1=1,∴棱锥V-ABC的体积为VV-ABC=13S△ABC·VO=13×1×❑√3=❑√33,故棱锥C-ABV的体积为❑√33.6.如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.(1)证明:G是AB的中点;(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.(1)证明因为P在平面ABC内的正投影为D,所以AB⊥PD.因为D在平面PAB内的正投影为E,所以AB⊥DE.所以...
