39二项式定理的两类重点题型——求和与求展开项1．(2014·四川改编)在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为________．答案15解析因为(1＋x)6的展开式的第r＋1项为Tr＋1＝Cxr，x(1＋x)6的展开式中含x3的项为Cx3＝15x3，所以系数为15.2．(2014·浙江改编)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝________.答案120解析因为f(m，n)＝CC，所以f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝CC＋CC＋CC＋CC＝120.3．设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为________．答案150解析M＝n＝4n，N＝2n⇒4n－2n＝240⇒2n＝16⇒n＝4，Tr＋1＝(－1)rC·54－r·⇒r＝2，则(－1)2C·52＝150.4．设a∈Z，且0≤a<13，若512012＋a能被13整除，则a的值为________．答案12解析化51为52－1，用二项式定理展开．512012＋a＝(52－1)2012＋a＝C522012－C522011＋…＋C×52×(－1)2011＋C×(－1)2012＋a.因为52能被13整除，所以只需C×(－1)2012＋a能被13整除，即a＋1能被13整除，因为0≤a<13，所以a＝12.5．若(1＋x)(2－x)2013＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2013x2013＋a2014x2014，则a2＋a4＋…＋a2012＋a2014＝________.答案1－22013解析采用赋值法，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2013＋a2014＝2，令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2013＋a2014＝0，把两式相加，得2(a0＋a2＋…＋a2014)＝2，所以a0＋a2＋…＋a2014＝1，又令x＝0，得a0＝22013，所以a2＋a4＋…＋a2012＋a2014＝1－22013.6．设f(x)是6展开式的中间项，若f(x)≤mx在区间上恒成立，则实数m的取值范围是______．答案[5，＋∞)解析由于Tr＋1＝Crx12－3r，故展开式中间的一项为T3＋1＝C·3·x3＝x3，f(x)≤mx⇔x3≤mx在上恒成立，即m≥x2，又x2≤5，故实数m的取值范围是m≥5.7．(2014·大纲全国)8的展开式中x2y2的系数为________．(用数字作答)答案70解析由Tr＋1＝C()8－r(－)r＝(－1)rCx8－yr－4知，要求x2y2的系数，则解得r＝4，∴x2y2的系数为(－1)4C＝70.8．(2014·山东)若(ax2＋)6的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________．答案2解析(ax2＋)6的展开式的通项为Tr＋1＝C(ax2)6－r·()r＝Ca6－rbrx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，由Ca6－3b3＝20得ab＝1，所以a2＋b2≥2＝2，故a2＋b2的最小值为2.9．已知(x＋)6(a>0)的展开式中常数项为240，则(x＋a)(x－2a)2的展开式中x2项的系数为________．答案－6解析(x＋)6的二项展开式的通项Tr＋1＝Cx6－r()r＝Carx6－，令6－＝0，得r＝4，则其常数项为Ca4＝15a4＝240，则a4＝16，由a>0，故a＝2.又(x＋a)(x－2a)2的展开式中，x2项为－3ax2，故x2项的系数为(－3)×2＝－6.10．已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N*)的展开式中x的系数为11，当x2的系数取得最小值时，f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和为________．答案30解析由已知得C＋2C＝11，∴m＋2n＝11，x2的系数为C＋22C＝＋2n(n－1)＝＋(11－m)＝2＋.∵m∈N*，∴m＝5时，x2的系数取得最小值22，此时n＝3.∴f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3.设这时f(x)的展开式为f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33，令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝60，故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.11．已知(1＋2)n的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的.(1)求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和；(2)求展开式中的有理项．解根据题意，设该项为第r＋1项，则有即亦即解得(1)令x＝1得展开式中所有项的系数之和为(1＋2)7＝37＝2187.所有项的二项式系数之和为27＝128.(2)展开式的通项为Tr＋1＝C2rx，r≤7且r∈N.于是当r＝0,2,4,6时，对应项为有理项，即有理项为T1＝C20x0＝1，T3＝C22x＝84x，T5＝C24x2＝560x2，T7＝C26x3＝448x3.12．已知n.(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．解(1)因为C＋C＝2C，所以n2－21n＋98＝0，解得n＝7或n＝14.当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.所以T4的系数为C4×23＝，T5的系数为C3×24＝70.当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.所以T8的系数为C727＝3432.(2)因为C＋C＋C＝79，所以n＝12或n＝－13(舍去)．设Tk＋1项的系数最大．因为12＝12(1＋4x)12，所以，所以9.4≤k≤10.4.又因为0≤k≤12且k∈N，所以k＝10.所以展开式中系数最大的项为T11.T11＝12C410x10＝16896x10.
