专题限时集训(十二)圆锥曲线的定义、方程、几何性质(对应学生用书第141页)[建议A、B组各用时：45分钟][A组高考达标]一、选择题1．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝()A.B．1C.D．2D[ y2＝4x，∴F(1,0)．又 曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，∴P(1,2)．将点P(1,2)的坐标代入y＝(k＞0)得k＝2.故选D.]2．过点A(0,1)作直线，与双曲线x2－＝1有且只有一个公共点，则符合条件的直线的条数为()A．0B．2C．4D．无数C[过点A(0,1)和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点，这样的直线有两条，过点A(0,1)和双曲线相切的直线只有一个公共点，这样的直线也有两条，故共四条直线与双曲线有且只有一个公共点．]3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为()A.－y2＝1B．x2－＝1C.－＝1D.－＝1A[由焦距为2得c＝.因为双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，所以＝.又c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1.]4．设点P是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点，F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1＋S△IPF2＝2S△IF1F2，则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.A[因为S△IPF1＋S△IPF2＋S△IF1F2＝S△PF1F2，所以3S△IF1F2＝S△PF1F2，设△PF1F2内切圆的半径为r，则有×2c×r＝×(|PF1|＋|PF2|＋2c)×r，整理得|PF1|＋|PF2|＝4c，即2a＝4c，所以e＝.]5．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为()【导学号：68334127】A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1D[椭圆的离心率e＝＝＝，所以a＝2b.所以椭圆方程为x2＋4y2＝4b2.因为双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，1所以渐近线x±y＝0与椭圆x2＋4y2＝4b2在第一象限的交点为，所以由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为b×b＝4，所以b2＝5，所以a2＝4b2＝20.所以椭圆C的方程为＋＝1.故选D.]二、填空题6．双曲线M：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，记|F1F2|＝2c，以坐标原点O为圆心，c为半径的圆与双曲线M在第一象限的交点为P，若|PF1|＝c＋2，则P点的横坐标为________．[根据双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2，又|PF1|＝c＋2，所以|PF2|＝c，由勾股定理得(c＋2)2＋c2＝4c2，即c2－2c－2＝0，解得c＝＋1，根据△OPF2是等边三角形得P点的横坐标为.]7．已知F1，F2为＋＝1的左、右焦点，M为椭圆上一点，则△MF1F2内切圆的周长等于3π，若满足条件的点M恰好有2个，则a2＝________.【导学号：68334128】25[由题意得内切圆的半径等于，因此△MF1F2的面积为××(2a＋2c)＝，即＝×|yM|×2c，因为满足条件的点M恰好有2个，所以M为椭圆短轴端点，即|yM|＝4，所以3a＝5c而a2－c2＝16，所以a2＝25.]8．(2017·绍兴一中高考考前适应性考试)设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C，AF与BC相交于点E.若|CF|＝2|AF|，且△ACE的面积为3，则p的值为________．[由抛物线y2＝2px可得F，则|CF|＝－＝3p，又|CF|＝2|AF|，则|AF|＝，由抛物线的定义得|AB|＝|AF|＝，所以xA＝p，则|yA|＝p.由CF∥AB得△ABE∽△FCE，从而得＝＝＝2，所以S△CEF＝2S△CEA＝6，S△ACF＝S△AEC＋S△CFE＝9，所以×3p×p＝9，解得p＝.]三、解答题9．(2017·温州市普通高中高考模拟考试)已知A，B，C是抛物线y2＝2px(p＞0)上三个不同的点，且AB⊥AC.(1)若A(1,2)，B(4，－4)，求点C的坐标；(2)若抛物线上存在点D，使得线段AD总被直线BC平分，求点A的坐标．图125[解](1) A(1,2)在抛物线上，∴p＝2.2分设C，则由kABkAC＝－1，得t＝6，2即C(9,6).4分(2)设A(x0，y0)，B，C，则直线BC的方程为(y1＋y2)y＝2px＋y1y2，6分由kABkAC＝·＝－1，得y0(y1＋y2)＋y1y2＋y＝－4p2，8分代入直线BC的方程，得(y1＋y2)(y＋y0)＝2p(x－2p－x0)，故直线BC恒过点E(x0＋2p，－y0)，因此直线AE的方程为y＝－(x－x0)＋y0，10分代入抛物线的方程y2＝2px(p＞0)，得点D的坐标为.因为线段AD总被直线BC平分，所以13分解得x0＝，y0＝±p即点A的坐标为....
