高中数学谈“数学设想”学法指导VIP专享VIP免费

高中数学谈“数学设想”张琴我们知道，只有合理的分析问题，才能正确地解决问题。而“设想”是数学上一种很独特的思维方式，是分析的关键，对于探索性问题更显重要。1.从图形“已知”设想例1如图1，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB3，BC=1，PA=2，E为PD的中点。在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离。（05年湖北高考试题20题（2））分析对N点的寻求，就需要考生大胆合理的设想，设想N点已在面PAB内作出，即EN⊥面PAC。设PN的延长线交AB于F，连结DF，由已知PA⊥面ABCD，知面PAC⊥面ABCD，只要DF⊥AC就有DF⊥面PAC，则只要EN//DF即可，又已知E为PD的中点，故只要N为PE中点，于是N点被确定。2.从条件出发设想（或猜想）例2如图2，已知平行六面体ABCDABCD1111的底面ABCD是菱形，且CCBCCDBCD1160。（1）证明：CCBD1；（2）假定CD=2，CC132，记面CBD1为，面CBD为，求二面角BD的平面角的余弦值；（3）当CDCC1的值为多少时，能使ACCBD11平面？请给出证明。分析（1）可通过BD⊥面AACC11证得。（2）所求余弦值为33（过程略）。（3）中比值CDCC1的寻求，是将结论与条件倒置，需探索条件，是开放型题目。由（1）知ACD1，要使ACCBD11面，应有CBCDAC111（或），结合CDCB11及平行六面体，特别是正方体的特点，猜想CCCD1，再将其作为已知条件就容易给出证明了。证明（3）由（1）知BDAACC平面11，因为ACAACC111面，所以BD⊥AC1。当CDCC11时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同理可证CBAC11又所以平面BDBCBACCBD1113.从结论出发“设想问题已解”，它适用于要证明的问题，也适用于要寻求与探索的问题，靠着设想，引导思维到达“柳暗花明”的境界。例3已知抛物线ypx22（p>0）上两点A、B满足OAOB=0（O为原点），问是否存在点C（x,0），使得ACBC（为非零实数），若存在，求出C点坐标；若不存在，说明理由。分析象这种探索性问题，设想是必不可少的。现假设符合条件的C点存在，因为点C在x轴上，所以只要直线AB的方程能写成过x轴上的定点的形式。解假设存在符合条件的点C，并设AypyBypy()()12122222，，，因为OAOB0所以ypypyy122212220所以yyp1224又kyyypyppyyAB12122212222直线AB的方程为yypyyxyp1121222()整理并将yyp1224代入上式化简可得ypyyxp2212()所以直线AB过定点C（2p，0）（经检验知，当直线AB的斜率不存在时也满足题意），即存在点C（2p，0）满足ACBC从以上问题可以看出，数学设想对于创造性思维是至关重要的，设想是否符合实际，是否可行，不是漫无目的，而是有章可循的。