高考大题规范练(四)立体几何1．如图，在等腰梯形PDCB中，PB∥CD，PB＝3，DC＝1，PD＝BC＝，A为PB边上一点，且PA＝1，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD。(1)求证：平面PAD⊥平面PCD；(2)若M为线段PB的中点，求多面体PADCMA的体积。解(1)证明：在等腰梯形PDCB中，∵PB＝3，PA＝1，DC＝1，∴AD⊥AB，又CD∥AB，∴CD⊥AD。∵平面PAD⊥平面ABCD，且交线为AD，∴DC⊥平面PAD。∵DC⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD。(2)在梯形PDCB中，PA⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，且交线为AD，∴PA⊥平面ABCD。∵M为PB的中点，∴点M到平面ACB的距离等于PA＝。∴VM－ACB＝×·S△ACB＝。∵VP－ABCD＝PA·S梯形ABCD＝×1×＝，∴多面体PDCMA的体积VPDCMA＝VP－ABCD－VM－ACB＝。2．(2015·湖南卷)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点。(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F－ABC的体积。解(1)证明：如图，因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AE⊥BB1。又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AE⊥BC。因此，AE⊥平面B1BCC1。而AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面B1BCC1。(2)设AB的中点为D，连接A1D，CD因为△ABC是正三角形，所以CD⊥AB。又三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CD⊥AA1。因此CD⊥平面A1ABB1，于是∠CA1D为直线A1C与平面A1ABB1所成的角。由题设，∠CA1D＝45°，所以A1D＝CD＝AB＝。在Rt△AA1D中，AA1＝＝＝，所以FC＝AA1＝。故三棱锥F－AEC的体积V＝S△AEC·FC＝××＝。3．(2015·四川卷)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示。(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；(3)证明：直线DF⊥平面BEG。解(1)点F，G，H的位置如图所示。(2)平面BEG∥平面ACH。证明如下：因为ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是BCHE为平行四边形。所以BE∥CH。又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH。同理BG∥平面ACH。又BE∩BG＝B，所以平面BFG∥平面ACH。(3)证明：连接FH。因为ABCD－EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH。因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG。又EG⊥FH，EG∩FH＝O，所以EG⊥平面BFHD。又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG。同理DF⊥BG。又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG。4.(2015·河北唐山二模)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA＝AD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MN⊥CD。(1)求证：PN＝CN；(2)直线MN与平面PBD相交于点F，求MF∶FN。解(1)证明：取PD中点E，连接AE，EM，则EM∥AN，且EM＝AN，四边形ANME是平行四边形，MN∥AE。由PA＝AD得AE⊥PD，故MN⊥PD。又因为MN⊥CD，所以MN⊥平面PCD，则MN⊥PC，PN＝CN。(2)设M，N，C，A到平面PBD的距离分别为d1，d2，d3，d4，则d3＝2d1，d4＝2d2。由VP－ABD＝VP－CBD，即VA－PBD＝VC－PBD，得d3＝d4，则d1＝d2，故MF∶FN＝d1∶d2＝1∶1。5.在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形。(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论。解(1)证明：因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC。因为AB，AC为平面ABC内两条相交直线，所以AA1⊥平面ABC。因为直线BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC。又由已知，AC⊥BC，AA1，AC为平面ACC1A1内两条相交直线，所以BC⊥平面ACC1A1。(2)取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点。由已知，O为AC1的中点。连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线。所以，MD綉AC，OE綉AC，因此MD綉OE。连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO。因为直线DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC，所以直线DE∥平面A1MC。即线段AB上存在一点M(M为线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC。
