运用函数的眼光看问题1.指数模型例1某公司拟投资100万元,有两种获利的可能可供选择:一种是年利润10%,按单利计算,5年后收回本金和利息;另一种是按年利率9%,按每一年复利一次计算,5年后收回本金和利息,哪一种投资更有利?这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元?分析:本例可先按单利和复利分别计算5年后的本息和,再通过比较即可。解析:依题意,本金100万元,年利率10%,按单利计算,5年后的本息和是100(110%5)150(万元);本金100万元,年利率9%,按每年复利一次计算,5年后的本息和是5100(19%)153.86(万元);由此可见,按年利率9%每年复利一次计算要比年利率10%的单利计算更有利,5年后多得利息3.86万元。评注:单利是正比例函数,而复利是指数函数模型,可见复利计算得到的利息要多。2.对数模型例2我们都处于有声世界之中,不同的场合人们对音量会有不同的要求,音量大小的单位是分贝(dB),对于一个强度为I的声波,分贝的定义是:010lgII,这里0I是人耳能听到的声音的最低声波强度,122010/IWm,当0II时,0,即dB=0。(1)如果21/IWm,求相应的分贝值;(2)70dB时的声音强度I是60dB时声音强度/I的多少倍?分析:已知的等量关系是解决函数应用问题的依据。解析:(1)将21/IWm代入010lgII得12110lg12010(dB);(2)当70时,解得71210I,当60时,解得1/210I,∴7112121/2101010II1.2,故70dB时的声音强度I是60dB时声音强度/I的1.2倍。评注:在平时的学习过程中,熟练掌握一些基本的数学模型,有助于提高我们解决实际问题的能力。3.二次函数模型例4某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数:21400(0400)()280000(400)xxxRxx,其中x是仪器的月产量。(1)将利润表示为月产量的函数()fx;(2)当月产量为何值时,公司所或利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润)分析:由已知总收益=总成本+利润,知道利润=总收益-总成本,由于()Rx是分段函数,所以()fx也要分段求出。分别求出()fx在各段中的最大值,通过比较,就能确定()fx的最大值。解析:(1)设月产量为x台,则总成本为20000+100x,从而213002000(0400)()260000100(400)xxxfxxx。(2)当0400x时,21()(300)250002fxx,∴当300x时,有最大值25000;当400x时,()60000100fxx是减函数,()6000010040025000fx。故当300x时,()fx的最大值为25000元。评注:该例中的“利润=总收益-总成本”是解题的关键所在。4.一次函数模型例4某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元,卖出的价格是每份0.50元,卖不掉的报纸还可以每份0.08元的价格退回报社。在一个月(30天)里,有20天每天可以卖出400份,其余10天每天只能卖出250份。设每天从报社买进报纸的数量相同,则应该每天从报社买进多少份,才能使每月所获的利润最大?并计算该销售点一个月最多可赚得多少元?分析:每月赚得的钱=卖报收入的总价-付给报社的总价。而收入的总数分为三部分,一是在可卖出400份的20天里,收入为0.520x;二是在可卖出250份的10天里,在x份报纸中,有250份报纸可卖出,收入为0.525010;三是没有卖掉的(x-250)份报纸可退回报社,报社付出(x-250)0.0810的钱。解析:设每天应从报社买x份,易知250400x,设每月赚y元,则y=0.520x+0.525010+(x-250)0.0810-0.3530x0.31050x,[250,400]x。因为y0.31050x是定义域上的增函数,所以当400x时,12010501170y最大值(元)。故每天应从报社买进400份报纸,获得利润最大,每月可赚1170元。评注:函数式的定义域不能漏掉。5.正比例函数模型例5一个圆柱形容器的底面直径为dcm,高度为hcm,现以每秒3Scm的速度向容器内注入某种溶液,求容器内的溶液高度y与注入时间ts的函数关系式及其定义域。分析:圆柱体的容积即是圆柱体的体积=底面积高,可变形成另一种形式为高=体积底面积。解析:依题意,容器内溶液每秒升高24()Scmd,得函数关系为24Sytd,注满容器所需时间为224()4ShdhsdS,函数的定义域为20,4hdS。评注:正比例函数模型是函数应用问题中常用的数学模型,应熟练掌握。