高考数学复习点拨 运用函数的眼光看问题VIP免费

运用函数的眼光看问题1．指数模型例1某公司拟投资100万元，有两种获利的可能可供选择：一种是年利润10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是按年利率9%，按每一年复利一次计算，5年后收回本金和利息，哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？分析：本例可先按单利和复利分别计算5年后的本息和，再通过比较即可。解析：依题意，本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本息和是100(110%5)150（万元）；本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是5100(19%)153.86（万元）；由此可见，按年利率9%每年复利一次计算要比年利率10%的单利计算更有利，5年后多得利息3.86万元。评注：单利是正比例函数，而复利是指数函数模型，可见复利计算得到的利息要多。2．对数模型例2我们都处于有声世界之中，不同的场合人们对音量会有不同的要求，音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，分贝的定义是：010lgII，这里0I是人耳能听到的声音的最低声波强度，122010/IWm，当0II时，0，即dB=0。（1）如果21/IWm，求相应的分贝值；（2）70dB时的声音强度I是60dB时声音强度/I的多少倍？分析：已知的等量关系是解决函数应用问题的依据。解析：（1）将21/IWm代入010lgII得12110lg12010（dB）；（2）当70时，解得71210I，当60时，解得1/210I，∴7112121/2101010II1.2，故70dB时的声音强度I是60dB时声音强度/I的1.2倍。评注：在平时的学习过程中，熟练掌握一些基本的数学模型，有助于提高我们解决实际问题的能力。3．二次函数模型例4某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：21400(0400)()280000(400)xxxRxx，其中x是仪器的月产量。（1）将利润表示为月产量的函数()fx；（2）当月产量为何值时，公司所或利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润）分析：由已知总收益=总成本+利润，知道利润=总收益-总成本，由于()Rx是分段函数，所以()fx也要分段求出。分别求出()fx在各段中的最大值，通过比较，就能确定()fx的最大值。解析：（1）设月产量为x台，则总成本为20000+100x，从而213002000(0400)()260000100(400)xxxfxxx。（2）当0400x时，21()(300)250002fxx，∴当300x时，有最大值25000；当400x时，()60000100fxx是减函数，()6000010040025000fx。故当300x时，()fx的最大值为25000元。评注：该例中的“利润=总收益-总成本”是解题的关键所在。4．一次函数模型例4某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以每份0.08元的价格退回报社。在一个月（30天）里，有20天每天可以卖出400份，其余10天每天只能卖出250份。设每天从报社买进报纸的数量相同，则应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算该销售点一个月最多可赚得多少元？分析：每月赚得的钱=卖报收入的总价-付给报社的总价。而收入的总数分为三部分，一是在可卖出400份的20天里，收入为0.520x；二是在可卖出250份的10天里，在x份报纸中，有250份报纸可卖出，收入为0.525010；三是没有卖掉的（x-250）份报纸可退回报社，报社付出(x-250)0.0810的钱。解析：设每天应从报社买x份，易知250400x，设每月赚y元，则y=0.520x+0.525010+(x-250)0.0810-0.3530x0.31050x，[250,400]x。因为y0.31050x是定义域上的增函数，所以当400x时，12010501170y最大值（元）。故每天应从报社买进400份报纸，获得利润最大，每月可赚1170元。评注：函数式的定义域不能漏掉。5．正比例函数模型例5一个圆柱形容器的底面直径为dcm，高度为hcm，现以每秒3Scm的速度向容器内注入某种溶液，求容器内的溶液高度y与注入时间ts的函数关系式及其定义域。分析：圆柱体的容积即是圆柱体的体积=底面积高，可变形成另一种形式为高=体积底面积。解析：依题意，容器内溶液每秒升高24()Scmd，得函数关系为24Sytd，注满容器所需时间为224()4ShdhsdS，函数的定义域为20,4hdS。评注：正比例函数模型是函数应用问题中常用的数学模型，应熟练掌握。