限时检测提速练(十三)大题考法——不等式选讲A组1．已知函数f(x)＝2|x＋1|－a，g(x)＝|x|．(1)若a＝0，解不等式f(x)≥g(x)；(2)若存在x∈R，使得不等式f(x)≥2g(x)成立，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝0，由f(x)≥g(x)得2|x＋1|≥|x|，两边平方得(3x＋2)(x＋2)≥0，所以所求不等式的解集为．(2)由f(x)≥2g(x)，得2|x＋1|－a≥2|x|；即存在x∈R，使得2|x＋1|－2|x|≥a成立．因为|x＋1|－|x|≤1，所以a≤2．2．(2018·石嘴山二模)已知函数f(x)＝|x－1|－2|x＋1|的最大值为k．(1)k的值；(2)若a，b，c∈R，＋b2＝k，求b(a＋c)的最大值．解：(1)由于f(x)＝|x－1|－2|x＋1|＝由函数f(x)的图象可知k＝f(x)max＝f(－1)＝2．(2)由已知＋b2＝2，有(a2＋b2)＋(b2＋c2)＝4，因为a2＋b2≥2ab(当a＝b时取等号)，b2＋c2≥2bc(当b＝c时取等号)，所以(a2＋b2)＋(b2＋c2)＝4≥2(ab＋bc)，即ab＋bc≤2，故b(a＋c)的最大值为2．3．(2018·东莞二模)已知m＋n＝9，f(x)＝|x－m|＋|x＋n|，且对任意的x∈R，f(x)≥M恒成立．(1)求实数M的取值范围；(2)若正实数a，b满足a2＋b2＝Mmax，求证(a＋b)(a3＋b3)≥81．解：(1)∵f(x)＝|x－m|＋|x＋n|≥|(x－m)－(x＋n)|＝|m＋n|＝9，∴M≤9，∴实数M的取值范围为(－∞，9]．(2)依题意，a2＋b2＝9．要证(a＋b)(a3＋b3)≥81，即证(a＋b)(a3＋b3)≥(a2＋b2)2，即证a4＋ab3＋a3b＋b4－a4－2a2b2－b4≥0，即证ab(a－b)2≥0，此式显然成立，∴原不等式成立．4．(2018·大庆二模)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|．(1)求不等式f(x)≥5的解集；(2)当x∈[0,2]时，不等式f(x)≥x2－x－a恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)由题意知，需解不等式|x＋1|＋|x－2|≥5.①当x＜－1时，①式化为－2x＋1≥5，解得x≤－2；当－1≤x≤2时，①式化为3≥5，无解；当x＞2时，①式化为2x－1≥5，解得x≥3．∴f(x)≥5的解集为{x|x≤－2或x≥3}．(2)当x∈[0,2]时，f(x)＝3，则当x∈[0,2]，x2－x－a≤3恒成立．设g(x)＝x2－x－a，则g(x)在[0,2]上的最大值为g(2)＝2－a．∴g(2)≤3，即2－a≤3，得a≥－1．∴实数a的取值范围为[－1，＋∞)．B组1．(2018·商丘二模)已知函数f(x)＝|x－2|＋2|x－1|．(1)求不等式f(x)＞4的解集；(2)若不等式f(x)＞2m2－7m＋4对于∀x∈R恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)依题意，f(x)＝|x－2|＋2|x－1|＝故不等式f(x)＞4的解集为(－∞，0)∪．(2)由(1)可得，当x＝1时，f(x)取最小值1，f(x)＞2m2－7m＋4对于∀x∈R恒成立，∴f(x)min＞2m2－7m＋4，即2m2－7m＋4＜1，∴2m2－7m＋3＜0，解之得＜m＜3，∴实数m的取值范围是．2．(2018·辽宁三模)已知函数f(x)＝a＋|x－2a|(a∈R)．(1)若a＝2，解不等式f(x)≥3；(2)若a＞0，求函数f(x)在区间[－1,2]上的最大值和最小值．解：(1)若a＝2，则f(x)≥3即为2＋|x－4|≥3，所以|x－4|≥1，所以x－4≤－1或x－4≥1，所以x≤3或x≥5，故不等式f(x)≥3的解集为(－∞，3]∪[5，＋∞)．(2)当a＞0时，f(x)＝a＋|x－2a|＝讨论：当2≤2a即a≥1时，f(x)max＝f(－1)＝3a＋1，f(x)min＝f(2)＝3a－2；当0＜2a＜2＜4a＋1即＜a＜1时，f(x)max＝f(－1)＝3a＋1，f(x)min＝f(2a)＝a；当2≥4a＋1且a＞0即0＜a≤时，f(x)max＝f(2)＝2－a，f(x)min＝f(2a)＝a．3．(2018·资阳二模)已知函数f(x)＝－|x|－|x＋2|．(1)解不等式f(x)＜－4；(2)若正实数a，b满足a＋b＝，试比较a2＋与f(x)＋3的大小，并说明理由．解：(1)由题知|x|＋|x＋2|＞4，①当x≤－2时，－2x－2＞4，解得x＜－3；②当－2＜x≤0时，2＞4，矛盾，无解；③当x＞0时，2x＋2＞4，x＞1；所以该不等式的解集为{x|x＜－3或x＞1}．(2)因为|x|＋|x＋2|≥|x－x－2|＝2，当且仅当－2≤x≤0时，取“＝”，所以f(x)＝－|x|－|x＋2|≤－2，即f(x)＋3≤1．又a2＋＝－2b＋5＝＋5＝2＋1≥1．当且仅当a＝，b＝时取等号．所以a2＋≥f(x)＋3．4．(2018·枣庄二模)已知函数f(x)＝|3x－a|．(1)当a＝4时，求不等式f(x)＜3的解集；(2)设函数g(x)＝|x＋1|，当x∈R时，f(x)＋g(x)＞1恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝4时，f(x)＝|3x－4|.由|3x－4|＜3，解得＜x＜．所以，不等式f(x)＜3的解集为．(2)f(x)＋g(x)＝|3x－a|＋|x＋1|＝|3|＋|x＋1|＝2|x－|＋|x－|＋|x＋1|≥|x－|＋|x＋1|≥|－(x＋1)|＝|＋1|．综上，当x＝时，f(x)＋g(x)有最小值|＋1|．故由题意得|＋1|＞1，解得a＜－6，或a＞0．所以，实数a的取值范围为(－∞，－6)∪(0，＋∞)．
