高中数学电子题库第二章5知能演练轻松闯关北师大版选修2-11.(2012·阜阳检测)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于()A.B.C.D.解析：选B.如图建系，则D(0，0，0)，F(1，0，0)，D1(0，0，2)，O(1，1，0)，E(0，2，1)．∴OE＝(－1，1，1)，FD1＝(－1，0，2)．∴cos〈OE，FD1〉＝＝＝.2.在正四面体A-BCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为()A.B.C.D.解析：选B.如图，以△BCD的中心O为原点，OC，OA所在直线分别为x轴，z轴，平面BCD内垂直OC于点O的直线为y轴建立空间直角坐标系，设正四面体的棱长为1，则C(，0，0)，A(0，0，)，D(－，，0)，所以E(－，，)，所以CE＝(－，，)，因为平面BCD的一个法向量为n＝(0，0，1)，所以＝＝，设夹角为θ，∴sinθ＝＝.3.底面是等腰直角三角形的直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠C＝90°，AA1＝AC，D为CC1上的点，且CC1＝3C1D，则平面BB1D与平面B1DA夹角的余弦值为________．1解析：以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1＝AC＝3，则A(0，3，0)，B1(3，0，3)，D(0，0，2)．∴AD＝(0，－3，2)，AB1＝(3，－3，3)．设平面ADB1的法向量为n＝(1，λ，μ)，则∴解得∴n＝(1，－2，－3)．又平面BB1D的法向量CA＝(0，3，0)，∴cos〈n，CA〉＝＝＝－.由图知，平面BB1D与平面B1DA夹角的余弦值为.答案：4.已知三棱锥S－ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝2，D为SA的中点，那么直线BD与直线SC所成角的大小为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.A(0，0，0)，B(，1，0)，C(0，2，0)，D(0，0，)，S(0，0，2)．∴BD＝(－，－1，)，SC＝(0，2，－2)．∴cos〈BD，SC〉＝＝－.∴BD与SC的所成的角为45°.答案：45°[A级基础达标]1.(2012·焦作质检)平面α的一个法向量为n1＝(4，3，0)，平面β的一个法向量为n2＝(0，－3，4)，则平面α与平面β夹角的余弦值为()A．－B.C.D．以上都不对解析：选B. cos〈n1，n2〉＝＝－，2∴平面α与平面β夹角的余弦值为.2.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，BB1的中点，那么直线AM与BN夹角的余弦值为()A.B．－C.D．－解析：选A.建立如图所示的空间直角坐标系，可得A(1，0，0)，M(1，，1)，B(1，1，0)，N(1，1，)，则AM＝(0，，1)，BN＝(0，0，)，视AM，BN分别为直线AM，BN的方向向量，则cos〈AM，BN〉＝＝＝>0.设直线AM和BN的夹角θ为〈AM，BN〉，故cosθ＝.3.(2012·淮北质检)如图，在空间直角坐标系中有正三棱柱ABC-A1B1C1，已知AB＝1，点D在BB1上，且BD＝1，则AD与侧面AA1C1C所成角的余弦值是()A.B.C.D.解析：选D.A点坐标为(，－，0)，D点坐标为(1，0，1)，∴AD＝(，，1)．易知平面ACC1A1的法向量n＝CB－CA＝(1，0，0)－(，－，0)＝(，，0)． ＝＝，∴所求角的余弦值为＝.4.(2012·安康质检)如图，在空间直角坐标系中有正方体ABCD-A1B1C1D1，E、F分别是BB1、CD的中点，则＝________．解析：设正方体的棱长为a，则C(0，a，0)，B1(a，a，a)，E(a，a，)，F(0，，0)，于是得EF＝(－a，－，－)，CB1＝(a，0，a)．3所以cos＝－，所以＝150°.答案：150°5.正方体A1C中，平面AB1C与平面A1B1C夹角的正切值为________．解析：以D为原点建立空间直角坐标系，如图所示，设A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，C1(0，1，1)．则平面A1B1C的法向量为n1＝(1，0，－1)．平面AB1C的法向量为n2＝(－1，－1，1)，∴cos〈n1，n2〉＝＝－，∴sin〈n1，n2〉＝.∴tan〈n1，n2〉＝－. 平面与平面间夹角的范围是[0，]，故平面A1B1C与平面B1CA夹角的正切值为.答案：6.(2012·九江检测)如图，已知点P在正方体ABCD－A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.(1)求DP与CC′的夹角的大小；(2)求DP与平面AA′D′D的夹角的大小．解：如图，以D为原点，分别以DA、DC、DD′所在的直线为x、y、z轴，并以DA为单位长建立空间直角坐标系D－xyz.4则DA＝(1，0，0)，CC′＝(0，0，1)．在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H.设DH＝(m，m，1)(m>0)，由已知〈DH，DA〉＝60°...
