第8讲正弦定理和余弦定理的应用举例一、填空题1．已知A、B两地的距离为10km，B、C两地的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为________．解析如图所示，由余弦定理可得：AC2＝100＋400－2×10×20×cos120°＝700，∴AC＝10(km)．答案10km2．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．解析由题图知，连接OC，在三角形OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°，由余弦定理可得OC2＝1002＋1502－2×100×150×＝17500，∴OC＝50.答案503．某人向正东方向走xkm后，他向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好km，那么x的值为________．解析如图，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°，由余弦定理得()2＝32＋x2－2×3x×cos30°，即x2－3x＋6＝0，解得x1＝，x2＝2，经检测均合题意．答案或24.如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，则AB的长为________．解析在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°，所以AC＝a.①在△BCD中，由正弦定理可得BC＝＝a.②在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝30°，所以利用余弦定理可以求得A，B两点之间的距离为AB＝＝a.答案a5．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是________．解析如图所示，由已知条件可得，∠CAB＝30°，∠ABC＝105°，即AB＝40×＝20(海里)．∴∠BCA＝45°.∴由正弦定理可得：＝.∴BC＝＝10(海里)．答案10(海里)6．已知A、B两地的距离为10km，B、C两地的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地的距离为________km.答案107．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A、B两点的距离为________m.答案508．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18km，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1km)________．解析AB＝1000×1000×＝(m)，∴BC＝·sin30°＝(m)．∴航线离山顶h＝×sin75°≈11.4(km)．∴山高为18－11.4＝6.6(km)．答案6.6km9．已知等腰三角形腰上的中线长为，则该三角形的面积的最大值是________．解析如图，设AB＝AC＝2x，则在△ABD中，由余弦定理，得3＝x2＋4x2－4x2cosA，所以cosA＝.所以sinA＝＝，所以S△ABC＝(2x)2sinA＝.故当x2＝时，(S△ABC)max＝＝＝2.答案210．已知△ABC中，B＝45°，AC＝4，则△ABC面积的最大值为________．解析法一如图，设△ABC的外接圆为圆O，其直径2R＝＝＝4.取AC的中点M，则OM＝Rcos45°＝2，则AC＝4.过点B作BH⊥AC于H，要使△ABC的面积最大，当且仅当BH最大．而BH≤BO＋OM，所以BH≤R＋R＝2＋2，所以(S△ABC)max＝AC·BHmax＝×4×(2＋2)＝4＋4，当且仅当BA＝BC时取等号．法二如图，同上易知，△ABC的外接圆的直径2R＝4.S△ABC＝AB·BC·sinB＝2R2sinAsinBsinC＝8sinAsinC＝4.当A＝C＝67.5°时，(S△ABC)max＝4＋4.答案4＋4二、解答题11．如图，在半径为、圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N、M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y，(1)按下列要求写出函数的关系式：①设PN＝x，将y表示成x的函数关系式；②设∠POB＝θ，将y表示成θ的函数关系式；(2)请你选用(1)中的一个函数关系式，求出y的最大值．解(1)① ON＝＝，OM＝x，∴MN＝－x，∴y＝x，x∈.② PN＝sinθ，ON＝cosθ，OM＝×sinθ＝sinθ，∴MN＝ON－OM＝cosθ－sinθ，∴y＝sinθ(cosθ－sinθ)，即y＝3sinθcosθ－sin2θ，θ∈.(2)选择y＝3sinθcosθ－sin2θ＝sin－， θ∈，∴2θ＋...
