第四节空间向量的应用(一)——证明平行与垂直课时作业练1.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).(1)已知向量a为平面ABC的法向量,且|a|=√3,求向量a的坐标;(2)设M(x,y,z)是平面ABC内任意一点,求x,y,z满足的关系式.解析(1)设向量a=(x,y,z),由题意知a·⃗AB=0,a·⃗AC=0.又⃗AB=(-2,-1,3),⃗AC=(1,-3,2),|a|=√3,所以得方程组{-2x-y+3z=0,x-3y+2z=0,x2+y2+z2=3.解得{x=1,y=1,z=1或{x=-1,y=-1,z=-1.所以向量a的坐标为(1,1,1)或(-1,-1,-1).(2)由题意知⃗AM=(x,y-2,z-3),由(1)知a·⃗AM=0,不妨取向量a=(1,1,1),则x+y-2+z-3=0,即x+y+z-5=0.2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为CC1,DD1的中点,试求平面ABEF的一个法向量.解析建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),B(1,1,0),E(0,1,12),F(0,0,12),所以⃗AB=(0,1,0),⃗AF=(-1,0,12).1设平面ABEF的法向量为n=(x,y,z),则n·⃗AB=(x,y,z)·(0,1,0)=y=0,n·⃗AF=(x,y,z)·(-1,0,12)=-x+12z=0.令z=2,则x=1,y=0.所以平面ABEF的一个法向量n=(1,0,2).3.如图,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别是AB,PC的中点,若四边形ABCD是平行四边形.求证:MN∥平面PAD.证明取DP的中点E,连接AE,EN,则⃗EN=12⃗DC=12⃗AB=⃗AM,又EN∥DC∥AB,所以四边形AMNE为平行四边形.所以⃗MN=⃗AE=12⃗AP+12⃗AD.所以⃗MN,⃗AD,⃗AP共面.又MN不在平面PAD内,所以MN∥平面PAD.4.(2019江苏宿迁高三模拟)如图,ABEDFC为多面体,平面ABED与平面ACFD垂直,点O在线段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF都是正三角形.(1)证明:BC∥EF;(2)求四棱锥F-OBED的体积.解析(1)证明:过点F作FQ⊥AD,交AD于点Q,连接QE.由平面ABED⊥平面ADFC,知FQ⊥平面ABED,又易知QE⊥AD,故以Q为坐标原点,QE、QD、QF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则E(√3,0,0),F(0,0,√3),B(√32,-32,0),C(0,-32,√32),2所以⃗BC=(-√32,0,√32),⃗EF=(-√3,0,√3).所以⃗EF=2⃗BC.所以BC∥EF.(2)易得OB=1,OE=2,∠EOB=60°,所以S△EOB=√32.因为△OED是边长为2的正三角形,故S△OED=√3,所以S四边形OBED=S△OBE+S△OED=3√32.由(1)得FQ是四棱锥F-OBED的高,且FQ=√3,所以V四棱锥F-OBED=13FQ·S四边形OBED=32.5.(2019江苏南京、盐城、连云港高三模拟)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为菱形,A1A=AB=2,∠ABC=π3,E,F分别是BC,A1C的中点.(1)求异面直线EF,AD所成角的余弦值;(2)点M在线段A1D上,且A1MA1D=λ.若CM∥平面AEF,求实数λ的值.解析因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱,所以A1A⊥平面ABCD.又AE⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以A1A⊥AE,A1A⊥AD.3在菱形ABCD中,∠ABC=π3,连接AC,则△ABC是等边三角形.因为E是BC的中点,所以BC⊥AE.因为BC∥AD,所以AE⊥AD.以{⃗AE,⃗AD,⃗AA1}为正交基底建立空间直角坐标系,如图,则A(0,0,0),C(√3,1,0),D(0,2,0),A1(0,0,2),E(√3,0,0),F(√32,12,1).(1)⃗AD=(0,2,0),⃗EF=(-√32,12,1),故cos<⃗AD,⃗EF>=⃗AD·⃗EF|⃗AD|·|⃗EF|=√24.故异面直线EF,AD所成角的余弦值为√24.(2)设M(x,y,z),因为点M在线段A1D上,且A1MA1D=λ,所以⃗A1M=λ⃗A1D,即(x,y,z-2)=λ(0,2,-2).则M(0,2λ,2-2λ),⃗CM=(-√3,2λ-1,2-2λ).设平面AEF的法向量为n=(x0,y0,z0).因为⃗AE=(√3,0,0),⃗AF=(√32,12,1),由{n·⃗AE=0,n·⃗AF=0,得{x0=0,12y0+z0=0.取y0=2,则z0=-1,则平面AEF的一个法向量为n=(0,2,-1).若CM∥平面AEF,则n·⃗CM=0,即2(2λ-1)-(2-2λ)=0,解得λ=23.6.(2018江苏无锡普通高中高三调研)在四棱锥P-ABCD中,△ABP是等边三角形,底面ABCD是直角梯形,∠DAB=90°,AD∥BC,E是线段AB的中点,PE⊥底面ABCD.已知DA=AB=2BC=2.(1)求二面角P-CD-A的正弦值;4(2)试在平面PCD上找一点M,使得EM⊥平面PCD.解析(1)因为底面ABCD是直角梯形,∠DAB=90°,所以BC∥AD,AD⊥AB,BC⊥AB.过点E作ES∥BC,则ES⊥AB.又PE⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,ES⊂平面ABCD,所以PE⊥AB,PE⊥ES.以E为坐标原点,⃗EB方向为x轴的正半轴,⃗ES方向为y轴的正半轴,⃗EP方向为z轴的正半轴建立空间直角坐标系,则E(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),A(-1,0,0),D(-1,2,0),P(0,0,√3),⃗CD=(-2,1,0),⃗PC=(1,1,-√3).设平面PCD的法向...
