第三章三角函数、解三角形第1课时任意角、弧度制及任意角的三角函数考纲索引1.任意角的概念.2.弧度与角度的互化.3.任意角的三角函数.课标要求1.了解任意角的概念.2.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.知识梳理1.任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为、、.②按终边位置不同分为和.(2)终边相同的角终边与角α相同的角可写成2.弧度与角度的互化(1)1弧度的角长度等于长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用符号rad表示.(2)角α的弧度数如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么角α的弧度数的绝对值是|α|=.(3)角度与弧度的换算①1°=rad;②1rad=.(4)扇形的弧长、面积公式设扇形的弧长为l,圆心角大小为α(rad),半径为r,则l=rα,扇形的面积为S==.3.任意角的三角函数(1)定义:设角α的终边与单位圆交于P(x,y),则sinα=,cosα=,tanα=(x≠0).(2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.1三角函数线(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅳ)有向线段为正弦线;有向线段为余弦线;有向线段为正切线基础自测1.(教材改编)下列与的终边相同的角的关系式中正确的是().2.(教材改编)若sinα<0且tanα>0,则α是().A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角3.已知角α的终边上一点A(2,2),则α的大小为().4.(教材改编)已知角α的终边经过点P(-x,-6),且,则x的值为.5.弧长为3π,圆心角为135°的扇形半径为,面积为.指点迷津◆一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦.◆两个技巧(1)在利用三角函数定义时,点P可取终边上任一点,如有可能则取终边与单位圆的交点,|OP|=r一定是正值.(2)在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧.◆三个注意2(1)注意易混概念的区别:第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角,第一类是象限角,第二类、第三类是区间角.(2)角度制与弧度制可利用180°=πrad进行互化,在同一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用,不可写α=2kπ+60°,k∈Z.(3)注意熟记0°~360°间特殊角的弧度表示,以方便解题.◆四个公式(1)与α终边相同的角度公式(2)角的弧度数(弧长公式)(3)扇形面积公式(4)三角函数定义公式考点透析考向一角的概念及表示例1(1)如果α是第三象限的角,那么-α,2α的终边落在何处?(2)写出终边在直线上的角的集合.【审题视点】利用象限角及终边相同的角的表示方法求角.【课堂记录】【方法总结】(1)利用终边相同的角的集合S={β|β=2kπ+α,k∈Z}判断一个角β所在的象限时,只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和,然后判断角α的象限.(2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角.变式训练31.若角θ的终边与角的终边相同,求在[0,2π)内终边与角的终边相同的角.考向二三角函数的定义例2已知角θ的终边经过点P(-,m)(m≠0)且sinθ=,试判断角θ所在的象限,并求cosθ和tanθ的值.【审题视点】根据三角函数定义求m,再求cosθ和tanθ.【方法总结】1.三角函数定义的理解在直角坐标系xOy中,设P(x,y)是角α终边上任意一点,且|PO|=r,则.2.定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离r,然后利用三角函数的定义求解.(2)已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后利用三角函数的定义求解相关的问题.若直线的倾斜角为特殊角,也可直接写出角α的三角函数值.变式训练2.角α终边上一点P(4m,-3m)(m≠0),则2sinα+cosα的值为.考向三弧度制的应用例3已知半径为10的圆O中,弦AB的长为10.4(1)求弦AB所对的圆心角α的大小;(2)求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.【审题视点】△AOB是等边三角形,∠AOB=60°,S弓=S扇-S△AOB.【方法总结】(1)引进弧度制后,实现了角度与弧度的相互转化,在弧度制下可以应用弧长公式:l=r|α|,扇形面积公式:S=lr=r2|α|,求弧长和扇形的面积.(2)应用上述公式时,要先把角统一用弧度制表示.利用弧度制比角度制解题更为简捷、方便.变式训练3.已知扇形...
