第11课时定积分的概念基础达标(水平一)1.定积分(-3)dx=().A.-6B.6C.-3D.3【解析】因为3dx表示图中阴影部分的面积S=3×2=6,所以(-3)dx=-3dx=-6.【答案】A2.汽车以10m/s的速度行驶,在某处需要减速停车,设汽车以-2m/s2的加速度刹车,若把刹车时间5等分,则从开始刹车到停车,汽车刹车距离的过剩估计值(取每个小区间的左端点对应的函数值)为().A.80mB.60mC.40mD.30m【解析】由题意知v(t)=v0+at=10-2t.令v(t)=0,得t=5,即t=5s时,汽车将停车.将区间[0,5]5等分,用每个小区间的左端点的函数值近似替代每个小区间上的平均速度,可得汽车刹车距离的过剩估计值为S=(10+10-2×1+10-2×2+10-2×3+10-2×4)×1=30(m).【答案】D3.根据定积分的定义,则x2dx=().A.·B.·C.·D.·1【解析】由定积分的定义可知x2dx=·.每个小区间的长度为,ξi取每个小区间的右端点【答案】D4.下列等式不成立的是().A.[mf(x)+ng(x)]dx=mf(x)dx+ng(x)dxB.[f(x)+1]dx=f(x)dx+b-aC.f(x)g(x)dx=f(x)dx·g(x)dxD.sinxdx=sinxdx+sinxdx【解析】利用定积分的性质判断C不成立.【答案】C5.如图所示,曲线y=f(x)与直线x=a,x=b,y=0围成的阴影部分的面积S为.【解析】如图所示,在区间[a,c)上,f(x)<0;在区间[c,b]上,f(x)≥0.所以所求阴影部分的面积S=-f(x)dx+f(x)dx.【答案】S=-f(x)dx+f(x)dx6.若a=tanxdx,则三者之间的大小关系为.【解析】当x∈时,sinx
0,若(2x-2)dx=8,则t=().A.1B.-2C.-2或4D.4【解析】函数f(x)=2x-2的图象如图所示,与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,-2),易求得S△OAB=1.∵(2x-2)dx=8,且(2x-2)dx=-1,∴t>1,∴S△AEF=|AE||EF|=×(t-1)(2t-2)=(t-1)2=9,∴t=4,故选D.【答案】D9.下列命题不正确的是().A.若f(x)是连续的奇函数,则f(x)dx=0B.若f(x)是连续的偶函数,则f(x)dx=2f(x)dxC.若f(x)在[a,b]上连续且恒为正,则f(x)dx>03D.若f(x)在[a,b)上连续且f(x)dx>0,则f(x)在[a,b)上恒为正【解析】本题考查定积分的几何意义,对于A:因为f(x)是奇函数,所以图象关于原点对称,所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等,故积分是0,所以A正确.对于B:因为f(x)是偶函数,所以图象关于y轴对称,故两边图象都在x轴上方或下方且面积相等,故B正确.C显然正确.D选项中f(x)也可以小于0,但必须有大于0的部分,且f(x)>0的曲线围成的面积比f(x)<0的曲线围成的面积大.【答案】D10.如图所示,已知f(x)dx=11,g(x)dx=9,=5,则图中阴影部分的面积为.【解析】由定积分的定义知阴影部分的面积为[f(x)-g(x)]dx=[f(x)-g(x)]dx+[g(x)-f(x)]dx=f(x)dx-g(x)dx+[g(x)-f(x)]dx=11-9+5=7.【答案】711.直线x=0,x=2,y=0与曲线y=16-x2围成一个曲边梯形.若将区间[0,2]等分成5份,试估计该图形的面积,并写出估计值的误差;要使该误差小于0.04,则至少要将区间分成多少等份?【解析】将区间[0,2]等分成5份,则过剩估计值为S=(16-02+16-0.42+16-0.82+16-1.22+16-1.62)×0.4=30.08,不足估计值为s=(16-0.42+16-0.82+16-1.22+16-1.62+16-22)×0.4=28.48.所以该图形的面积介于28.48与30.08之间.又S-s=1.6,所以无论是用S还是用s来表示曲边梯形的面积,误差都不会超过1.6.设区间[0,2]等分成n份,仿照上面的方法知,[(16-02)-(16-22)]×≤0.04,得n≥200,即至少要将区间分成200等份,才能使估计值的误差小于0.04.4
