第二讲空间向量与立体几何1．(2019·合肥二模)如图，三棱台ABCEFG的底面是正三角形，平面ABC⊥平面BCGF，CB＝2GF，BF＝CF.(1)求证：AB⊥CG；(2)若BC＝CF，求直线AE与平面BEG所成角的正弦值．解析：(1)证明：取BC的中点为D，连接DF.由ABCEFG是三棱台得，平面ABC∥平面EFG，从而BC∥FG. CB＝2GF，∴CD綊GF，∴四边形CDFG为平行四边形，∴CG∥DF. BF＝CF，D为BC的中点，∴DF⊥BC，∴CG⊥BC. 平面ABC⊥平面BCGF，且交线为BC，CG⊂平面BCGF，∴CG⊥平面ABC，而AB⊂平面ABC，∴CG⊥AB.(2)连接AD.由△ABC是正三角形，且D为中点得，AD⊥BC.由(1)知，CG⊥平面ABC，CG∥DF，∴DF⊥AD，DF⊥BC，∴DB，DF，DA两两垂直．以DB，DF，DA分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设BC＝2，则A(0,0，)，E，B(1,0,0)，G(－1，，0)，∴AE＝，BG＝(－2，，0)，BE＝.设平面BEG的一个法向量为n＝(x，y，z)．由，可得令x＝，则y＝2，z＝－1，∴n＝(，2，－1)．设AE与平面BEG所成角为θ，则直线AE与平面BEG所成角的正弦值为sinθ＝|cos〈AE，n〉|＝＝.2.(2019·湖南五市十校联考)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝2，BC＝4，PA＝2.(1)求证：AB⊥PC；(2)在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角MACD的大小为45°，如果存在，求出BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．解析：(1)证明：由已知得四边形ABCD是直角梯形，由AD＝CD＝2，BC＝4，可得△ABC是等腰直角三角形，即AB⊥AC，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，又PA∩AC＝A，所以AB⊥平面PAC，所以AB⊥PC.(2)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，C(2，2，0)，D(0,2，0)，P(0,0,2)，B(2，－2，0)，PD＝(0,2，－2)，AC＝(2，2，0)，AP＝(0,0,2)．设PM＝tPD(0
