第四节数列求和时间：45分钟分值：100分一、选择题1．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝则其前6项之和是()A．16B．20C．33D．120解析 a2＝2a1＝2，a3＝a2＋1＝3，a4＝2a3＝6，a5＝a4＋1＝7，a6＝2a5＝14，∴S6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33.答案C2．数列{1＋2n－1}的前n项和为()A．1＋2nB．2＋2nC．n＋2n－1D．n＋2＋2n解析由题意得an＝1＋2n－1，所以Sn＝n＋＝n＋2n－1.答案C3．若数列{an}的通项为an＝4n－1，bn＝，n∈N*，则数列{bn}的前n项和是()A．n2B．n(n＋1)C．n(n＋2)D．n(2n＋1)解析a1＋a2＋…＋an＝(4×1－1)＋(4×2－1)＋…＋(4n－1)＝4(1＋2＋…＋n)－n＝2n(n＋1)－n＝2n2＋n，∴bn＝2n＋1，b1＋b2＋…＋bn＝(2×1＋1)＋(2×2＋1)＋…＋(2n＋1)＝n2＋2n＝n(n＋2)．答案C4．若数列{an}为等比数列，且a1＝1，q＝2，则Tn＝＋＋…＋的结果可化为()A．1－B．1－C.D.解析an＝2n－1，设bn＝＝2n－1，则Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋3＋…＋2n－1＝.答案C5．已知数列{an}的通项公式为an＝n2cosnπ(n∈N*)，Sn为它的前n项和，则等于()A．1005B．1006C．2011D．2012解析注意到cosnπ＝(－1)n(n∈N*)，故an＝(－1)nn2.因此有S2012＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋…＋(－20112＋20122)＝1＋2＋3＋…＋2011＋2012＝＝1006×2013，所以＝1006.答案B6．已知函数f(x)＝x2＋bx的图象在点A(1，f(1))处的切线l与直线3x－y＋2＝0平行，若数列(n∈N*)的前n项和为Sn，则S2012的值为()A.B.C.D.解析由于f′(x)＝2x＋b，据题意则有f′(1)＝2＋b＝3，故b＝1，即f(x)＝x2＋x，从而＝＝－，其前n项和Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，故S2012＝.答案D1二、填空题7．设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1＝b1＝1，a3＋b5＝19，a5＋b3＝9，则数列{anbn}的前n项和Sn＝__________.解析由条件易求出an＝n，bn＝2n－1(n∈N*)．∴Sn＝1×1＋2×21＋3×22＋…＋n×2n－1，①2Sn＝1×2＋2×22＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n.②由①－②，得－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n×2n，∴Sn＝(n－1)·2n＋1.答案(n－1)·2n＋18．在数列{an}中，an＝＋＋…＋，又bn＝，则数列{bn}的前n项和为__________．解析 an＝＝，∴bn＝＝8.∴b1＋b2＋…＋bn＝8＝.答案9．数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，则S100＝________.解析由an＋2－an＝1＋(－1)n，知a2k＋2－a2k＝2，a2k＋1－a2k－1＝0，∴a1＝a3＝a5＝…＝a2n－1＝1，数列{a2k}是等差数列，a2k＝2k.∴S100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a100)＝50＋(2＋4＋6＋…＋100)＝50＋＝2600.答案2600三、解答题10．(2014·山东卷)在等差数列{an}中，已知公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝a，记Tn＝－b1＋b2－b3＋b4－…＋(－1)nbn，求Tn.解(1)由题意知(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，即(a1＋2)2＝a1(a1＋6)，解得a1＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n.(2)由题意知bn＝a＝n(n＋1)，所以Tn＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)nn·(n＋1)．因为bn＋1－bn＝2(n＋1)，可得当n为偶数时，Tn＝(－b1＋b2)＋(－b3＋b4)＋…＋(－bn－1＋bn)＝4＋8＋12＋…＋2n＝＝，当n为奇数时，Tn＝Tn－1＋(－bn)＝－n(n＋1)＝－.所以Tn＝11．已知数列{an}的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个数a1，a2，a4，a7，…构成等差数列{bn}，Sn是{bn}的前n项和，且b1＝a1＝1，S5＝15.a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10…2(1)若数阵中从第3行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知a9＝16，求a50的值；(2)设Tn＝＋＋…＋，求Tn.解(1)设等差数列{bn}的公差为d. b1＝1，S5＝15，∴S5＝5＋10d＝15，d＝1，∴bn＝1＋(n－1)×1＝n.设从第3行起，每行的公比都是q，且q>0，则a9＝b4q2，即4q2＝16，q＝2，又1＋2＋3＋…＋9＝45，故a50是数阵中第10行的第5个数，a50＝b10q4＝10×24＝160.(2) Sn＝1＋2＋…＋n＝，∴Tn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝2＝2＝.1．数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为()A．3690B．3660C．1845D．1830解析当n＝2k时，a2k＋1＋a2k＝4k－1，当n＝2k－1时，a2k－a...
