【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第2章参数方程2.3参数方程化成普通方程学业分层测评北师大版选修4-4(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1.将极坐标化为直角坐标为()A.(0,2)B.(0，－2)C.(2,0)D.(－2,0)【解析】∵x＝ρcosθ＝2cos＝0，y＝ρsinθ＝2sin＝－2，∴化为直角坐标为(0，－2).故应选B.【答案】B2.在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，－).若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是()A.B.C.D.【解析】极径ρ＝＝2，极角θ满足tanθ＝＝－.∵点(1，－)在第四象限，所以θ＝－.【答案】A3.点P的直角坐标为(－，)，那么它的极坐标可表示为()A.B.C.D.【解析】点P(－，)在第二象限，与原点的距离为2，且与极轴夹角为.【答案】B4.将点M的极坐标化成直角坐标是()A.(5,5)B.(5，5)C.(5,5)D.(－5，－5)【解析】x＝10cos＝5，y＝10sin＝5.【答案】A5.已知A，B两点的极坐标分别为和，则线段AB中点的直角坐标为()A.B.C.D.【解析】AB中点的极坐标为，根据互化公式x＝ρcosθ＝cos＝－，y＝ρsinθ＝sin＝－，因此，所求直角坐标为.【答案】B二、填空题6.直角坐标为(－π，π)的点的极坐标为________.【解析】∵ρ＝＝π，tanθ＝－1，当0≤θ＜2π时，θ＝或，又(－π，π)在第二象限，∴θ＝，∴为所求.【答案】17.已知点M的极坐标为(5，θ)，且tanθ＝－，＜θ＜π，则点M的直角坐标为________.【导学号：12990009】【解析】∵tanθ＝－，＜θ＜π，∴cosθ＝－，sinθ＝，∴x＝5cosθ＝－3，y＝5sinθ＝4，∴点M的直角坐标为(－3,4).【答案】(－3,4)8.直线l过点A，B，则直线l的倾斜角等于________.【解析】把极坐标化为直角坐标为A，B.∴kAB＝＝－1，∴直线l的倾斜角为.【答案】三、解答题9.将下列各点由极坐标化为直角坐标或由直角坐标化为极坐标.(1)；(2)；(3)；(4)(－2，－2).【解】(1)x＝5cos＝5×＝－，y＝5sin＝5×＝，所以点的直角坐标为.(2)x＝3×cos＝3×＝，y＝3×sin＝，所以极坐标的直角坐标为.(3)ρ＝＝2，tanθ＝＝，所以θ＝，所以点(3，)的极坐标为.(4)ρ＝＝4，tanθ＝＝，∴θ＝，∴点(－2，－2)的极坐标为.10.已知极坐标系中的三点为A，B，C.(1)将A，B，C三点的极坐标化为直角坐标；(2)判断△ABC的形状.【解】(1)A，B，C三点的直角坐标为：A(0,5)，B(－4，4)，C.(2)|AB|＝＝7，|AC|＝＝7，|BC|＝＝7，因为|AB|＝|AC|＝|BC|，所以△ABC是正三角形.能力提升]1.在极坐标系中，两点P和Q，则PQ的中点的极坐标是()A.B.C.D.【解析】∵P，∴∴P(1，).∵Q，∴2∴Q(－3，).∴中点M的直角坐标为(－1，).∴ρ2＝(－1)2＋()2＝4，∴ρ＝2.tanθ＝＝－，∴θ＝.∴中点M的极坐标为.【答案】B2.设点P对应的复数为－3＋3i，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为()【导学号：12990010】A.B.C.D.【解析】复数－3＋3i对应的点P的坐标为P(－3,3).∴ρ＝＝3，tanθ＝＝－1.又点(－3,3)在第二象限，∴θ＝π，故其极坐标为.【答案】A3.已知点P在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2，则当ρ>0，θ∈0,2π)时，点P的极坐标为________.【解析】∵点P(x，y)在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2，∴x＝－2，且y＝－2，∴ρ＝＝2，又tanθ＝＝1，且θ∈0,2π)，∴θ＝π.因此，点P的极坐标为.【答案】.4.已知定点P.(1)将极点移至O′处极轴方向不变，求P点的新坐标；(2)极点不变，将极轴顺时针转动角，求P点的新坐标.【解】(1)设P点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知|OO′|＝2，|OP|＝4，∠POx＝，∠O′Ox＝，∴∠POO′＝.在△POO′中，ρ2＝42＋(2)2－2·4·2·cos＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.又∵＝，∴sin∠OPO′＝·2＝，∴∠OPO′＝，∴∠OP′P＝π－－＝，∴∠PP′x＝，∴∠PO′x′＝，∴P点的新坐标为.(2)如图，设P点新坐标为(ρ，θ)，则ρ＝4，θ＝＋＝，∴P点的新坐标为.3
