【创新方案】2017届高考数学一轮复习第八章立体几何第七节热点专题——立体几何中的热点问题课后作业理1．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AB＝2BC＝4，BF＝CF＝AE＝DE，EF＝2，EF∥AB，AF⊥CF.(1)若G为FC的中点，证明：AF∥平面BDG；(2)求平面ABF与平面BCF所成锐二面角的余弦值．2.(2016·长春模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝1，点E，F分别为AB和PD的中点．(1)求证：直线AF∥平面PEC；(2)求PC与平面PAB所成角的正弦值．3.(2016·兰州模拟)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB＝2，BC＝CD＝1，顶点D1在底面ABCD内的射影恰为点C.(1)求证：AD1⊥BC；(2)若直线DD1与直线AB所成的角为，求平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值．4.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠ABC＝60°，AB＝2CB＝2.在梯形ACEF中，EF∥AC，且AC＝2EF，EC⊥平面ABCD.1(1)求证：BC⊥AF；(2)若二面角DAFC的大小为45°，求CE的长．5．如图是多面体ABCA1B1C1和它的三视图．(1)线段CC1上是否存在一点E，使BE⊥平面A1CC1？若不存在，请说明理由，若存在，请找出并证明；(2)求平面C1A1C与平面A1CA所成的角(锐角)的余弦值．6．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝4，点E在线段AB上．过点E作EF∥BC交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与P重合)，使得∠PEB＝60°.(1)求证：EF⊥PB；(2)试问：当点E在线段AB上移动时，二面角PFCB的平面角的余弦值是否为定值？答案1．解：(1)证明：如图，连接AC交BD于O点，则O为AC的中点，连接OG， 点G为FC的中点，∴OG∥AF. AF⊄平面BDG，OG⊂平面BDG，∴AF∥平面BDG.2(2)取AD的中点M，BC的中点Q，连接MQ，则MQ∥AB∥EF，∴M，Q，F，E共面．作FP⊥MQ于P，EN⊥MQ于N，则EN∥FP且EN＝FP.连接EM，FQ， AE＝DE＝BF＝CF，AD＝BC，∴△ADE和△BCF全等，∴EM＝FQ，∴△ENM和△FPQ全等，∴MN＝PQ＝1， BF＝CF，Q为BC的中点，∴BC⊥FQ，又BC⊥MQ，FQ∩MQ＝Q，∴BC⊥平面MQFE，∴PF⊥BC，∴PF⊥平面ABCD.以P为原点，PM为x轴，PF为z轴建立空间直角坐标系如图所示，则A(3,1,0)，B(－1,1,0)，C(－1，－1,0)，得令z1＝1，得x1＝0，y1＝2，同理得平面BCF的一个法向量为n2＝(－2,0,1)，∴cos〈n1，n2〉＝＝＝，∴平面ABF与平面BCF所成锐二面角的余弦值为.2.解：(1)证明：如图，作FM∥CD交PC于M，连接ME. 点F为PD的中点，∴FM＝CD.∴AE＝AB＝FM，∴AEMF为平行四边形，∴AF∥EM. AF⊄平面PEC，EM⊂平面PEC，∴直线AF∥平面PEC.(2)连接DE， ∠DAB＝60°，∴DE⊥DC.3如图所示，建立坐标系，则P(0，0,1)，C(0,1,0)，E，A，－，0，B，∴取x＝1，则z＝，∴平面PAB的一个法向量为n＝.∴PC与平面PAB所成角的正弦值为.3.解：(1)证明：连接D1C，则D1C⊥平面ABCD，∴D1C⊥BC.在等腰梯形ABCD中，连接AC， AB＝2，BC＝CD＝1，AB∥CD，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面AD1C，∴AD1⊥BC.(2)法一： AB∥CD，∴∠D1DC＝， CD＝1，∴D1C＝.在底面ABCD中作CM⊥AB，连接D1M，则D1M⊥AB，∴∠D1MC为平面ABC1D1与平面ABCD所成角的一个平面角．在Rt△D1CM中，CM＝，D1C＝，∴D1M＝＝，∴cos∠D1MC＝，即平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值为.法二：由(1)知AC，BC，D1C两两垂直， AB∥CD，∴∠D1DC＝， CD＝1，∴D1C＝.在等腰梯形ABCD中， AB＝2，BC＝CD＝1，AB∥CD，∴AC＝，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，D1(0,0，)，设平面ABC1D1的法向量n＝(x，y，z)，4可得平面ABC1D1的一个法向量n＝(1，，1)．∴平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值为.4.解：(1)证明：在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos60°＝3，所以AB2＝AC2＋BC2，由勾股定理知∠ACB＝90°，所以BC⊥AC.又因为EC⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥EC.又因为AC∩EC＝C，所以BC⊥平面ACEF，又AF⊂平面ACEF，所以BC⊥AF.(2)因为EC⊥平面ABCD，又由(1)知BC⊥AC，以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设CE＝h，则C(0,0,0)，A(，0,0)，F，D（，－，0），设平面DAF的法向量为n1＝(x，y，z)，令x＝，所...
