13以函数为背景的创新题型1．设D＝{(x，y)|(x－y)(x＋y)≤0}，记“平面区域D夹在直线y＝－1与y＝t(t∈[－1,1])之间的部分的面积”为S，则函数S＝f(t)的图象的大致形状为________．答案③解析如图，平面区域D为阴影部分，当t＝－1时，S＝0，排除④；当t＝－时，S>Smax，排除①②.2．设函数f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f(x)－g(x)|≤k(k>0)，则称f(x)与g(x)在[a，b]上是“k度和谐函数”，[a，b]称为“k度密切区间”．设函数f(x)＝lnx与g(x)＝在[，e]上是“e度和谐函数”，则m的取值范围是________．答案[－1，e＋1]解析设h(x)＝f(x)－g(x)＝lnx－＝－m＋＋lnx，h′(x)＝－＋＝，故当x∈[，1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；当x∈[1，e]时，h′(x)≥0，函数h(x)单调递增．所以函数h(x)的最小值为h(1)＝－m＋1，而h()＝－m＋e－1，h(e)＝－m＋＋1，显然e－1>＋1，所以h()>h(e)，故函数h(x)的最大值为h()＝－m＋e－1.故函数h(x)在[，e]上的值域为[－m＋1，－m＋e－1]．由题意，得|h(x)|≤e，即－e≤h(x)≤e，所以解得－1≤m≤1＋e.3．(2014·苏州模拟)对于函数f(x)，若任意的a，b，c∈R，f(a)，f(b)，f(c)为某一三角形的三边长，则称f(x)为“可构造三角形函数”．已知函数f(x)＝是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是________．答案[，2]解析因为对任意的实数x1，x2，x3∈R，都存在以f(x1)，f(x2)，f(x3)为三边长的三角形，故f(x1)＋f(x2)>f(x3)对任意的x1，x2，x3∈R恒成立．由f(x)＝＝1＋，设ex＋1＝m(m>1)，则原函数可化为f(m)＝1＋(m>1)，当t>1时，函数f(m)在(1，＋∞)上单调递减，所以f(m)∈(1，t)，此时2f(x3)对任意的x1，x2，x3∈R恒成立，需t≤2，所以1f(x3)对任意的x1，x2，x3∈R恒成立，需满足2t≥1，所以≤t<1.综上t∈[，2]．4．若直角坐标平面内的两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y＝f(x)的图象上；②P，Q关于原点对称．则称点对[P，Q]是函数y＝f(x)的一对“友好点对”(点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”)．已知函数f(x)＝则此函数的“友好点对”有________对．答案2解析函数f(x)＝的图象及函数f(x)＝－x2－4x(x≤0)的图象关于原点对称的图象如图所示，则A，B两点关于原点的对称点一定在函数f(x)＝－x2－4x(x≤0)的图象上，故函数f(x)的“友好点对”有2对．5．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x0是函数f(x)＝lgx－的零点，则[x0]＝________.答案2解析 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴函数f′(x)＝＋>0，即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．由f(2)＝ln2－1<0，f(e)＝lne－>0，知x0∈(2，e)，∴[x0]＝2.6．(2014·辽宁改编)已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足：①f(0)＝f(1)＝0；②对所有x，y∈[0,1]，且x≠y，有|f(x)－f(y)|<|x－y|.若对所有x，y∈[0,1]，|f(x)－f(y)|
