第三讲圆锥曲线性质的探讨一、基础达标1.一个圆的正射影不可能是()A.圆B.椭圆C.抛物线D.线段解析当圆所在的平面与射影平面平行时，射影是圆；不平行时是椭圆，垂直时是线段，不可能是抛物线，故选C.答案C2.用一个过圆锥面顶点的平面去截圆锥面，则交线为()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.两条相交直线解析所得交线为圆锥面的两条母线.答案D3.用一个平面去截一个圆柱面，其交线是()A.圆B.椭圆C.两条平行线D.以上均可能解析当平面垂直于圆柱面的轴时，交线为圆；当平面与圆柱面的轴平行时，交线为两条平行线，当平面与圆柱面的轴不平行也不垂直时，交线为椭圆，故选D.答案D4.一组平行平面与一正圆锥的交线具有()A.相同的焦距B.相同的焦点C.相同的离心率D.相同的准线解析∵平行平面与圆锥轴线夹角β相等，由离心率定义e＝(圆锥半顶角α为定值)知，离心率相同.答案C5.已知圆锥面的母线与轴成44°角，用一个与轴线成44°角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时，所截得的交线是________.解析根据平面截圆锥面定理知，交线为抛物线.答案抛物线6.一平面截半径为3的圆柱面得椭圆，若椭圆的Dandelin双球的球心距离为10，则截面与圆柱面母线夹角的余弦值为________.解析Dandelin双球球心距离即为椭圆的长轴长，∴2a＝10，即a＝5，又椭圆短轴长2b＝6，∴b＝3.∴c＝4.故离心率e＝＝，∴cosθ＝，故截面与母线所成角的余弦值为.答案二、能力提升7.平面与圆锥轴线的夹角为30°，与圆锥面交线的离心率为，则圆锥母线与轴线的夹角为()A.60°B.45°C.30°D.无法确定解析由已知β＝30°，e＝，设圆锥母线与轴线的夹角为α，则e＝，∴cosα＝＝，∴α1＝60°.答案A8.一圆锥面的母线与轴线成α角，不过顶点的平面和轴线成β角，且与圆锥面的交线是椭圆，则β和α的大小关系为()A.β>αB.β<αC.β＝αD.无法确定解析由平面与圆锥面的交线为椭圆，根据定理2知：β>α.答案A9.在底面半径为6的圆柱内有两个半径也为6的球面，两球的球心距离为13，若作一个平面与这两个球面相切，且与圆柱相交成一椭圆，则椭圆的长轴长为________.解析图为圆柱的轴截面，AB为与球O1和球O2都相切的平面与轴截面的交线，由对称性知AB过圆柱的几何中心O，由O1O⊥OD，O1C⊥OA，得∠OO1C＝∠AOD，且O1C＝OD＝6，所以Rt△OO1C≌Rt△AOD，则AO＝O1O，故AB＝2AO＝2O1O＝O1O2＝13.显然AB即为椭圆的长轴.故填13.答案1310.已知圆锥的母线长为l，底面半径为R，如果过圆锥顶点的截面面积S的最大值是l2，则的取值范围为________.解析如图所示，△PAB是过圆锥的顶点P的截面，设∠APB＝x，圆锥的顶角为α，则△PAB的面积为：S＝PA·PB·sinx＝l2sinx(0
