第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第9课时三角函数的综合应用1.若函数f(x)＝cosωxcos(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝________．答案：1解析：由于f(x)＝cosωxcos＝sin2ωx，所以T＝＝πω＝1.2.在△ABC中，若∠B＝，b＝a，则∠C＝________.答案：解析：根据正弦定理可得＝，即＝，解得sinA＝.因为b＝a>a，所以A0)，f＝f，且f(x)在区间有最小值，无最大值，则ω＝________．答案：解析：由题意知直线x＝＝为函数的一条对称轴，且ω×＋＝2kπ－(k∈Z)，∴ω＝8k－(k∈Z)．①又－≤(ω>0)，∴0<ω≤12.②由①②得k＝1，∴ω＝.8.已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数．f(x)≤对x∈R恒成立，且f>f(π)，则f(x)的单调递增区间是________．答案：(k∈Z)解析：由x∈R，有f(x)≤知，当x＝时f(x)取最值，∴f＝sin＝±1，∴＋φ＝±＋2kπ(k∈Z)，∴φ＝＋2kπ或φ＝－＋2kπ(k∈Z)． f>f(π)，∴sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，∴－sinφ>sinφ，∴sinφ<0.∴φ取－＋2kπ(k∈Z)．不妨取φ＝－，则f(x)＝sin.令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，∴＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，∴＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．9.在△ABC中，内角A、B、C所对的边长分别是a、b、c.(1)若c＝2，C＝，且△ABC的面积为，求a，b的值；(2)若sinC＋sin(B－A)＝sin2A，试判断△ABC的形状．解：(1) c＝2，C＝，∴由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得a2＋b2－ab＝4. △ABC的面积为，∴absinC＝，ab＝4.联立方程组解得a＝2，b＝2.(2)由sinC＋sin(B－A)＝sin2A，得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sinAcosA，即2sinBcosA＝2sinAcosA，∴cosA·(sinA－sinB)＝0，∴cosA＝0或sinA－sinB＝0，当cosA＝0时， 0＜A＜π，∴A＝，△ABC为直角三角形；当sinA－sinB＝0时，得sinB＝sinA，由正弦定理得a＝b，即△ABC为等腰三角形．∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．10.已知函数f(x)＝sinωx·cosωx－cos2ωx＋(ω∈R，x∈R)的最小正周期为π，且图象关于直线x＝对称．(1)求f(x)的解析式；(2)若函数y＝1－f(x)的图象与直线y＝a在上只有一个交点，求实数a的取值范围．解：(1)f(x)＝sinωx·cosωx－cos2ωx＋＝sin2ωx－(1＋cos2ωx)＋＝sin＋1. 函数f(x)的最小正周期为π，∴＝π，即ω＝±1，∴f(x)＝sin＋1.①当ω＝1时，f(x)＝sin＋1，∴f＝sin＋1不是函数的最大值或最小值，∴其图象不关于x＝对称，舍去．②当ω＝－1时，f(x)＝－sin＋1，∴f＝－sin＋1＝0是最小值，∴其图象关于x＝对称．故f(x)的解析式为f(x)＝1－sin.(2)y＝1－f(x)＝sin，在同一坐标系中作出y＝sin和y＝a的图象：由图可知，直线y＝a在a∈或a＝1时，两曲线只有一个交点，∴a∈或a＝1.11.(2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA＝，cosC＝.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3mi...
