高中数学导数用于证明不等式学法指导VIP专享VIP免费

高中数学导数用于证明不等式导数是近些年来高中课程加入的新内容，是一元微分学的核心部分。本文就谈谈导数在一元不等式中的应用。例1.已知x∈（0，），求证:sinx＜x＜tanx。证明；构造函数f(x)=x－sinx，g(x)=tanx－x，x∈（0，），则f'(x)=1－cosx＞0，g'(x)=sec2x－1＞0。所以f(x)，g(x)在（0，）内是单调递增函数，故f(x)＞f(0)=0，g(x)＞g(0)=0，即x＞sinx，tanx＞x，故sinx＜x＜tanx。这个三角不等式在相关教材中是用几何方法证明的。这里是构造函数，利用函数的单调性来证明，简单、快捷。例2.已知m，n为正整数，且1＜m＜n。求证：（1+m）n＞(1+n)m。分析：将待证不等式两边取对数，得nln(1+m)＞mln(1+n)，即证明成立即可。证明：构造函数f(x)=，求导，得，所以f(x)在［2，+∞）上是减函数。由2≤m＜n知f(m)＞f(n)，即，nln(1+m)＞mln(1+n)，所以ln(1+m)n＞ln(1+n)n，即（1+m）n＞(1+n)m。例3.已知函数f(x)=x(x－a)(x－b)，其中0＜a＜b，设f(x)在x=s及x=t取到极值，其中s＜t，求证：0＜s＜a＜t＜b。证明：易求得f'(x)=3x2－2(a+b)x+ab。由f(x)在x=s及x=t取到极值，知s，t是二次方程f'(x)=0的两实根，又f'(0)=ab＞0，f'(a)=a2－ab=a(a－b)＜0,f'(b)=b2－ab=b(b－a)＞0,即f'(x)=0在区间（0，a）与（a，b）内分别有一个实根。由s＜t及s，得二次方程f(x')=0的两实根，得0＜s＜a＜t＜b。以上是用导数次三次函数“降次”转化为研究二次方程在（0，a）与（a，b）存在实根的问题，结合实根分布理论，运用数形结合的思想，实现了不等式的证明。例4.设函数f(x)=ln(1+x)-x，g(x)=xlnx，0＜a＜b，用心爱心专心证明：0＜g(a)+g(b)－2g()＜(b－a)ln2。证明：由g(x)=xlnx，得g'(x)=lnx+1。构造函数F（x）=g(a)+g(x)-2g()，则F'(x)=g'(x)-2[g()]'=lnx-ln。当0＜x＜a时，F'(x)＜0，所以F(x)在(0，a)内为减函数。当x＞a时，F'(x)＞0，所以F（x）在(a，+∞)上为增函数。于是当x=a时，F（x）有极小值F（a）。因为F（a）=0，b＞a，所以F（b）＞0，即0＜g(a)+g(b)-2g()。设G（x）=F(x)-(x-a)ln2，则G'(x)=lnx-ln=lnx-ln(a+x)。当x＞0时，G'(x)＜0，所以G（x）在(0，+∞)上为减函数。因为G（a）=0，所以G（b）＜0，即g(a)+g(b)-2g()＜(b-a)ln2。综上所述，0＜g(a)+g(b)-2g＜(b-a)ln2。用导数证明不等式，关键在于构造函数，然后在相应区间上用导数的相关知识判别其单调性，再利用单调性得到所证明的不等式。练习：证明下列不等式1.当x＞0时，1+＞。2.当x＞0时，1+xln(x+)＞3.当x＞4时，2x＞x24.已知函数f(x)=x2++alnx(x＞0)，f(x)的导函数是f'（x），对任意两个不相等的正数x1，x2，证明：（1）当a≤0时，；（2）当a≤4时，。用心爱心专心