永年二中高三理科数学二轮专题三——分段函数一、值域篇1．设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝则f(x)的值域是()A.]0,49[∪(1，＋∞)B．[0，＋∞)C.),49[D.]0,49[∪(2，＋∞)解析：由x＜g(x)可得x＜－1或x＞2，由x≥g(x)，即－1≤x≤2时，∴f(x)＝x＜－1或x＞2时，f(x)＞2；－1≤x≤2时，)21(f＜f(x)≤f(2)⇔－≤f(x)≤0，所以f(x)的域为]0,49[∪(2，＋∞)，故选D.2．对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：a*b＝则函数xxxf22log231log)(的值域为__________．解析：)132(log1(231loglog231log)(2222xxxxxxxf）f(x)＝∴当x≥1时，≤1，f(x)≤0；当＜x＜1时，log2＜f(x)＜0.∴f(x)的值域为(－∞，0]．3．已知函数f(x)＝(1)求f(x)在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点；(2)求f(x)在[－1，e](e为自然对数的底数)上的最大值．解(1)当x<1时，f′(x)＝－3x2＋2x＝－x(3x－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以当x＝0时，函数f(x)取得极小值f(0)＝0，函数f(x)的极大值点为x＝.(2)①当－1≤x<1时，f(x)＝－x3＋x2，由(1)知函数f(x)在[－1,0]和)1,32[上单调递减，在]32.0[上单调递增．因为f(－1)＝2，)32(f＝，f(0)＝0，所以f(x)在[－1,1)上的最大值为2.②当1≤x≤e时，f(x)＝alnx，当a≤0时，f(x)≤0；当a>0时，f(x)在[1，e]上单调递增，f(x)max＝a.综上所述，当a≥2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为a；当a<2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为2.4．已知函数f(x)＝2x，g(x)＝＋2.(1)求函数g(x)的值域；(2)求满足方程f(x)－g(x)＝0的x的值．解(1)g(x)＝＋2＝x)21(＋2，因为|x|≥0，所以00时，由2x－－2＝0，整理得(2x)2－2·2x－1＝0，(2x－1)2＝2，故2x＝1±，因为2x>0，所以2x＝1＋，即x＝log2(1＋)．二、单调性篇11．若函数)2()21(2()2()(xxxaxfx）是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2)B.]813,(C．(0,2)D.)2,813[解析：由题意可知1)21(2)2(022aa，解得a≤.答案：B2．已知f(x)＝则不等式f(x2－x＋1)<12的解集是_____．解析作出函数f(x)＝的图象，可知该函数是奇函数，且在R上单调递增，所以由f(x2－x＋1)<12＝f(3)可得x2－x＋1<3，解得－1
