限时集训（二十）坐标系与参数方程基础过关1.在直角坐标系xOy中,点P(0,-1),曲线C1:{x=tcosα,y=−1+tsinα(t为参数),其中0≤α<π,在以O为极点,以x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ+ρcos2θ=8sinθ.(1)若α=π4,求曲线C1与C2的公共点的直角坐标;(2)若C1与C2相交于不同的两点A,B,M是线段AB的中点,当|PM|=409时,求sinα的值.2.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为{x=❑√3+❑√7cosα,y=2+❑√7sinα(α为参数),直线l1的方程为y=❑√33x.以O为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C和直线l1的极坐标方程;(2)设直线l2的极坐标方程为θ=π3(ρ∈R),若直线l1,l2分别交曲线C于A,B两点(其中A,B两点都不是极点),求△AOB的面积.3.在直角坐标系xOy中,圆C的普通方程为x2+y2-4x-6y+12=0.在以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为ρsinθ+π4=❑√2.(1)写出圆C的参数方程和直线l的直角坐标方程;(2)设直线l与x轴和y轴的交点分别为A,B,P为圆C上的任意一点,求⃗PA·⃗PB的取值范围.4.以平面直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρ=❑√3acosθ+asinθ(a>0),将曲线C1绕极点逆时针旋转π3后得到曲线C2.(1)求曲线C2的极坐标方程;(2)直线l的参数方程为{x=−1+12t,y=❑√32t(t为参数),直线l与曲线C2相交于M,N两点,已知P(-1,0),若|PM||PN|=|MN|2,求a的值.能力提升5.在直角坐标系xOy中,曲线C1:x24+y2=1,曲线C2:{x=2+2cosφ,y=2sinφ(φ为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)射线l的极坐标方程为θ=α(ρ≥0),若l分别与C1,C2交于异于极点的A,B两点,求|OB||OA|的最大值.6.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为{x=3+tcosα,y=2+tsinα(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ.(1)求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程;(2)已知直线l上一点M(3,2),若直线l与圆C交于不同的两点A,B,求1|MA|+1|MB|的取值范围.限时集训(二十)基础过关1.解:(1)若α=π4,则曲线C1的普通方程为y=x-1,由ρ+ρcos2θ=8sinθ得2ρcos2θ=8sinθ,即ρ2cos2θ=4ρsinθ,所以曲线C2的直角坐标方程为x2=4y,由{y=x-1,x2=4y,解得{x=2,y=1,所以曲线C1与C2的公共点的直角坐标为(2,1).(2)将{x=tcosα,y=−1+tsinα代入x2=4y得(cos2α)t2-4tsinα+4=0,设点A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=4sinαcos2α,则|PM|=t1+t22=2sinαcos2α=409,整理得20sin2α+9sinα-20=0,可得sinα=45.2.解:(1)曲线C的参数方程为{x=❑√3+❑√7cosα,y=2+❑√7sinα(α为参数),转化为普通方程为x2+y2-2❑√3x-4y=0,所以曲线C的极坐标方程为ρ-2❑√3cosθ-4sinθ=0.直线l1的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R).(2)设Aρ1,π6,Bρ2,π3,由{θ=π6,ρ-2❑√3cosθ-4sinθ=0,解得ρ=5,所以ρ1=5,由{θ=π3,ρ-2❑√3cosθ-4sinθ=0,解得ρ=3❑√3,所以ρ2=3❑√3,所以△AOB的面积S△AOB=12ρ1ρ2sinπ3-π6=15❑√34.3.解:(1)圆C的参数方程为{x=2+cosθ,y=3+sinθ(θ为参数).直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.(2)由题意可得A(2,0),B(0,2).设点P(x,y),则⃗PA·⃗PB=(2-x,-y)·(-x,2-y)=x2+y2-2x-2y=2x+4y-12.由(1)知{x=2+cosθ,y=3+sinθ,则⃗PA·⃗PB=4sinθ+2cosθ+4=2❑√5sin(θ+φ)+4,其中sinφ=❑√55,cosφ=2❑√55.所以⃗PA·⃗PB∈[4-2❑√5,4+2❑√5].4.解:(1)设曲线C2上任意一点的极坐标为(ρ,θ),则点ρ,θ-π3在曲线C1上,∴ρ=❑√3acosθ-π3+asinθ-π3,化简得曲线C2的极坐标方程为ρ=2asinθ.(2)由ρ=2asinθ得ρ2=2aρsinθ,∴曲线C2的直角坐标方程为x2+y2=2ay,即x2+(y-a)2=a2,将直线l的参数方程代入C2的直角坐标方程得-1+12t2+❑√32t-a2=a2,整理得t2-(1+❑√3a)t+1=0,Δ=(1+❑√3a)2-4>0.设点M,N对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=1+❑√3a,t1t2=1,∴|PM|·|PN|=|t1t2|=1,|MN|2=(t1-t2)2=(t1+t2)2-4t1t2=(1+❑√3a)2-4,根据题意有1=(1+❑√3a)2-4,∴3a2+2❑√3a-4=0,又a>0,∴a=❑√15-❑√33,经检验满足Δ>0,∴a=❑√15-❑√33.能力提升5.解:(1)C1:x2+4y2=4, x=ρcosθ,...
