课时作业15导数与函数的极值、最值一、选择题1．函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是()A．x＝1B．x＝－1C．x＝1或－1或0D．x＝0解析： f(x)＝x4－2x2＋3，由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1.又当x<－1时，f′(x)<0，当－10，当01时，f′(x)>0，∴x＝0,1，－1都是f(x)的极值点．答案：C2．设函数f(x)＝＋lnx，则()A．x＝为f(x)的极大值点B．x＝为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点解析：f′(x)＝－＋＝＝0，可得x＝2.当02时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴x＝2为f(x)的极小值点．答案：D3．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是()A．－37B．－29C．－5D．以上都不对解析：f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，∴f(x)在(－2,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减．∴x＝0为极大值点，也为最大值点．∴f(0)＝m＝3，∴m＝3.∴f(－2)＝－37，f(2)＝－5.∴最小值是－37，选A.答案：A4．(2016·河北石家庄一模)若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0)B．(－∞，4]C．(0，＋∞)D．[4，＋∞)解析：2xlnx≥－x2＋ax－3，则a≤2lnx＋x＋，设h(x)＝2lnx＋x＋(x>0)，则h′(x)＝.当x∈(0,1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4，所以a≤h(x)min＝4.故a的取值范围是(－∞，4]．答案：B5．若函数y＝ax3＋bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和，则()A．a－2b＝0B．2a－b＝0C．2a＋b＝0D．a＋2b＝0解析：y′＝3ax2＋2bx，据题意，0，是方程3ax2＋2bx＝0的两根，∴－＝，∴a＋2b＝0.答案：D6．(2016·河北唐山模拟)直线y＝a分别与直线y＝2(x＋1)，曲线y＝x＋lnx交于点A，B，则|AB|的最小值为()A．3B．2C.D.解析：解方程2(x＋1)＝a，得x＝－1，设方程x＋lnx＝a的根为t(t>0)，则t＋lnt＝a，则|AB|＝＝＝.设g(t)＝－＋1(t>0)，则g′(t)＝－＝(t>0)，令g′(t)＝0，得t＝1.当t∈(0,1)时，g′(t)<0；当t∈(1，＋∞)时，g′(t)>0，所以g(t)min＝g(1)＝，所以|AB|≥，所以|AB|的最小值为.答案：D7．若函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则()A．00D．b<解析：f(x)在(0,1)内有极小值，则f′(x)＝3x2－3b在(0,1)上先负后正，∴f′(0)＝－3b<0.∴b>0，f′(1)＝3－3b>0，∴b<1.综上，b的取值范围为01时，f(－1)＝－a＋4≥0，且f()＝－＋1≥0，解得a＝4，综上所述，a＝4.答案：C9．(2016·河南周口调研)已知函数f(x)＝＋的两个极值点分别为x1，x2，且x1∈(0,1)，x2∈(1，＋∞)，点P(m，n)表示的平面区域为D，若函数y＝loga(x＋4)(a>1)的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围是()A．(1,3]B．(1,3)C．(3，＋∞)D．[3，＋∞)解析：由题意，知y′＝x2＋mx＋＝0的两根x1，x2满足x1∈(0,1)，x2∈(1，＋∞)，所以即画出其表示的可行域D，因为y＝loga(x＋4)(a>1)的图象上存在区域D内的点，所以loga(－1＋4)>1，即a<3，所以实数a的取值范围为(1,3)．答案：B10．(2016·湖北宜昌一模)已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝lnx－ax，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于()A.B.C.D．1解析：由f(x)是奇函数，x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1知，当x∈(0,2)时，f(x)的最大值为－1.令f′(x)＝－a＝0，得x＝.当00；当x>时，f′(x)<0.∴f(x)max＝f＝－lna－1＝－1，解得a＝1.答案：D二、填空题11．(2016·东北八校模拟)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)的极大值与极小值之差为__...
