专题3.2导数的应用真题回放1.【2017课标II，理11】若是函数的极值点，则的极小值为（）A.B.C.D.1【答案】A【解析】【考点】函数的极值；函数的单调性2.【2017课标3，理11】已知函数有唯一零点，则a=A．B．C．D．1【答案】C【解析】试题分析：函数的零点满足，设，则，当时，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，函数取得最小值，设，当时，函数取得最小值，【考点】函数的零点；导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想3.【2017课标II，理】已知函数，且。(1)求；(2)证明：存在唯一的极大值点，且。【答案】(1)；(2)证明略。【解析】（2）由（1）知，。设，则。当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增。【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值4.【2017课标1，理21】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求a的取值范围.【解析】试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，在对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）题，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，，进行讨论，可知当有2个零点，设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.所以的取值范围为.【考点】含参函数的单调性，利用函数零点求参数取值范围.5.【2017课标3，理21】已知函数.（1）若，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，求m的最小值.【答案】(1)；(2)【解析】试题分析：(1)由原函数与导函数的关系可得x=a是在的唯一最小值点，列方程解得；(2)利用题意结合(1)的结论对不等式进行放缩，求得，结合可知实数的最小值为【考点】导数研究函数的单调性；导数研究函数的最值；利用导数证明不等式6.【2017山东，理20】已知函数，，其中是自然对数的底数.（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）见解析（Ⅱ）由题意得，因为，令则所以在上单调递增.因为所以当时，当时，极大值为，当时取到极小值，极小值是；②当时，，所以当时，，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是；极小值是.【考点】1.导数的几何意义.2.应用导数研究函数的单调性、极值.3.分类讨论思想.7.【2017北京，理19】已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.【解析】所以函数在区间上单调递减.因此在区间上的最大值为，最小值为.【考点】1.导数的几何意义；2.利用导数求函数的最值.8.【2017天津，理20】设，已知定义在R上的函数在区间内有一个零点，为的导函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）设，函数，求证：；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，且满足.【答案】（1）增区间是，，减区间是.（2）（3）证明见解析当x变化时，的变化情况如下表：x+-+↗↘↗所以，的单调递增区间是，，单调递减区间是.（III）证明：对于任意的正整数，，且，令，函数.由（II）知，当时，在区间内有零点；当时，在区间内有零点.所以在内至少有一个零点，不妨设为，则.由（I）知在上单调递增，故，于是.因为当时，，故在上单调递增，所以在区间上除外没有其他的零点，而，故.又因为，，均为整数，所以是正整数，从而.所以.所以，只要取，就有.【考点】导数的应用【名师点睛】判断的单调性，只需对函数求导，根据的导数的符号判断函数的单调性，求出单调区间，有关函数的零点问题，先利用函数的导数判断函数的单调性，了解函数的图象的增减情况，再对极值点作出相应的要求，可控制零点的个数.9.【2017浙江，20】（本题满分15分）已知函数f(x)=（x–）（）．（Ⅰ）求f(x)的导函数；（Ⅱ）求f(x)在区间上的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅱ）由解得或．因为x（）1（）（）-0+0-f（x）↓0↑↓又，所以f（x）在区间上单调递减，求a的取值范围．【引申探究】1．本例(2)中，若函数h(x)＝f(x)－g(x)在上单调递增，求a的取值范围．【解析】由h(x)在上单调递增得...
