正切函数的应用策略在给出某个角的正切值，求三角函数式的值或化简三角函数式的问题的求解过程中，常见的有以下几种处理方法，现举例说明．一、根据某个角的正切值求出其正、余弦值例1已知tan2，求2sin1cos的值．分析：本题须由tan2求出sincos，的值，才能求得结果．解：由tan2，可得25sin5，5cos5，或25sin5，5cos5．（1）当25sin5，5cos5时，2522sin5351cos515；（2）当255sincos55，时，2522sin5351cos515．说明：已知某个角的正切值求其正、余弦值可用三角函数的定义．三角函数有如下定义：已知某个角的终边上一点（xy，）（xy，不全为0），设22rxy，则sinyr，cosxr，tanyx．上例中tan2yx，不妨设(0)xkk，则25ykrk，，因为tan20，所以在第一、三象限．当在第一象限时，5cos55xkrk，225sin55ykrk．当在第三象限时，5cos55xkrk，225sin55ykrk．上述解法中，也可直接取1k，以简化运算．二、将正切函数转化为正弦或余弦函数应用公式sintancos可使得正切函数与正余弦函数相互转化．上例中，由tan2得sin2cos，即sin2cos，代入2sin1cos可得2sin22cos1cos1cos，要求得结果只需求cos一项即可．例2已知tan3，求sin2cos2sincos的值．分析：由于结论式中有sincos，，所以把tan3转化为sin3cos是解题方向之一．解：由tan3，得sin3cos，即sin3cos，代入原式，用心爱心专心得sin2cos3cos2coscos12sincos23coscos7cos7．三、整体处理从问题的结论入手分析，如能通过等价变形，使得结论式中只含有tan这一种三角函数，则把条件代入问题即可解决．如例2中，将sin2cos2sincos的分子、分母同时除以cos，则可得到tan23212tan12317．在一般的分式中，若分子、分母中的每个式子中都含有正、余弦函数且其次数相同，往往可以应用分子分母同除以余弦函数这一技巧．若结论不是分式，有时可以构造成分式形式，下面举一例说明．例3已知1tan2，求222sincos的值．分析：结论式中正、余弦函数均为二次，由22sincos1，可得2222222sincos2sincossincos，再将分子、分母同除以2cos．解：22222222221212sincos2tan1222sincossincostan15112．说明：上述分子、分母同除以cos或2cos过程中，因为已知角的正切值存在，所以其余弦函数值不会为零．用心爱心专心
