单元质检卷四三角函数、解三角形(A)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.若点在角α的终边上,则sinα的值为()A.-B.-C.D.2.(2017河北保定二模,文3)角θ的顶点与原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边在直线y=2x上,则tan2θ=()A.2B.-4C.-D.-3.若cos,则cos(π-2α)=()A.B.C.-D.-4.已知θ∈,且sinθ+cosθ=a,其中a∈(0,1),则tanθ的可能取值是()A.-3B.3或C.-D.-3或-5.函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小正周期和最小值为()A.π,0B.2π,0C.π,2-D.2π,2-6.(2017河北保定二模,文6)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且C=,a+b=12,则△ABC面积的最大值为()A.8B.9C.16D.21二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.(2017福建泉州一模,文14)已知α∈,sin2α=,则sin=.8.(2017浙江,14)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是,cos∠BDC=.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)(2017湖南岳阳一模,文17)已知函数f(x)=sincos.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)将函数y=f(x)的图象向下平移个单位长度,再将图象上各点的纵坐标伸长为原来的4倍(横坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)在上的最大值.10.(15分)(2017陕西咸阳三模,文17)在△ABC中,tanA=,tanC=.(1)求角B的大小;(2)设α+β=B(α>0,β>0),求sinα-sinβ的取值范围.11.(15分)(2017山东烟台一模,文16)已知函数f(x)=sin2x+sinxcosx-.(1)求f(x)单调递减区间;(2)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,a=2,c=4,若f(A)是f(x)在(0,π)上的最大值,求△ABC的面积.导学号〚24190979〛单元质检卷四三角函数、解三角形(A)1.A因为角α的终边上一点的坐标为,即,所以由任意角的三角函数的定义,可得sinα==-,故选A.2.D∵角θ的始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线y=2x上,∴tanθ=2;∴tan2θ==-,故选D.3.D由cos,可得sinα=.∴cos(π-2α)=-cos2α=-(1-2sin2α)=2sin2α-1=2×-1=-.4.C由sinθ+cosθ=a,两边平方可得2sinθcosθ=a2-1.由a∈(0,1)及θ∈,得sinθcosθ<0,且|sinθ|<|cosθ|.故θ∈,从而tanθ∈(-1,0),故选C.5.C因为f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=1+sin2x+(1+cos2x)=2+sin,所以最小正周期为π,当sin=-1时,取得最小值为2-.6.B∵ab≤=36,当且仅当a=b=6时,等号成立,∴S△ABC=absinC≤×36×=9,故选B.7.由1-2sin2=cos=-sin2α,∴sin2,∵α∈,∴α+,∴sin.8.(法一)如图,取BC中点E,DC中点F,由题意知AE⊥BC,BF⊥CD.在Rt△ABE中,cos∠ABE=,∴cos∠DBC=-,sin∠DBC=.∴S△BCD=×BD×BC×sin∠DBC=.∵cos∠DBC=1-2sin2∠DBF=-,且∠DBF为锐角,∴sin∠DBF=.在Rt△BDF中,cos∠BDF=sin∠DBF=.综上可得,△BCD的面积是,cos∠BDC=.(法二)如图,取BC中点E,连接AE,则AE⊥BC,由题意AE=,S△ABC=BC·AE=×2×.∵BD=2,∴S△BDC=S△ABC=.∵BC=BD=2,∴∠BDC=∠BCD,∴∠ABE=2∠BDC.在Rt△ABE中,∵cos∠ABE=,∴cos∠ABE=2cos2∠BDC-1=,∴cos∠BDC=.9.解(1)∵函数f(x)=sincos=cosx·sin2x=sin,∴函数f(x)的最小正周期为=π.(2)将函数y=f(x)=sin的图象向下平移个单位长度,可得y=sin的图象.再将图象上各点的纵坐标伸长为原来的4倍,得到函数y=g(x)=2sin的图象.在上,2x+,故当2x+时,g(x)取得最大值为2.10.解(1)∵A+B+C=π,∴B=π-(A+C),又tanA=,tanC=,则tanB=tan[π-(A+C)]=-tan(A+C)=-=-1,∵B为△ABC的内角,∴B=.(2)∵α+β=B(α>0,β>0),∴α+β=.∵sinα-sinβ=sinα-sinsinα-=sin,又α+β=B(α>0,β>0),则α∈,α-,∴sin,即sinα-sinβ的范围是.11.解(1)f(x)=sin2x+sinxcosx-(1-cos2x)+sin2x-sin2x-cos2x=sin,由2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z,可得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,∴f(x)的单调减区间为(k∈Z).(2)由(1)知f(x)=sin,当x∈(0,π)时,-<2x-,结合正弦函数的图象,当2x-,即x=时,f(x)取得最大值.∵f(A)是f(x)在(0,π)上的最大值,∴A=.在△ABC中,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA,即12=b2+16-2×4b×,解得b=2,∴△ABC的面积S=bcsinA=×2×4sin=2.
