【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第一章导数及其应用1.5.3微积分基本定理学业分层测评苏教版选修2-2(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝________.【解析】∵f(x)＝x2＋2f(x)dx，∴f(x)dx＝－.【答案】－2.(cosx＋1)dx＝________.【导学号：01580026】【解析】∵(sinx＋x)′＝cosx＋1，∴(cosx＋1)dx＝(sinx＋x)＝(sinπ＋π)－(sin0＋0)＝π.【答案】π3．将曲边y＝ex，x＝0，x＝2，y＝0所围成的图形面积写成定积分的形式________．【答案】exdx4．定积分3tdx(t为大于0的常数)的几何意义是________．【答案】由直线y＝3t，x＝2，x＝3，y＝0所围成的矩形的面积．5．由曲线y＝x2－4，直线x＝0，x＝4和x轴围成的封闭图形的面积(如图153)是________．(写成定积分形式)图153【答案】dx6．设a＝xdx，b＝x2dx，c＝x3dx，则a，b，c的大小关系是________．【解析】根据定积分的几何意义，易知x3dxb>c.【答案】a>b>c7．计算定积分dx＝________.【解析】由于dx＝2dx表示单位圆的面积π，所以dx＝π.【答案】π8．(2016·河北衡水三模)如图154由曲线y＝2－x2，直线y＝x及x轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是________．1图154【解析】把阴影部分分成两部分(y轴左侧部分和右侧部分)求面积．＝2－＋2－－＝＋.【答案】＋二、解答题9．计算下列定积分．(1)dx；【解】(1)∵dx＝dx＝lnx－ln(x＋1)]＝ln.10．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，f(1)＝4，f′(1)＝1，f(x)dx＝，求f(x)．【解】因为f(1)＝4，所以a＋b＋c＝4，①f′(x)＝2ax＋b，因为f′(1)＝1，所以2a＋b＝1，②f(x)dx＝＝a＋b＋c＝，③由①②③可得a＝－1，b＝3，c＝2.所以f(x)＝－x2＋3x＋2.能力提升]1．设f(x)＝则f(x)dx＝________.【解析】f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx＝x3＋＝.【答案】2．(2016·长沙高二检测)f(x)＝sinx＋cosx，2【解析】＝－＝sin＋sin＝1＋1＝2.【答案】23．已知f(x)＝若f(f(1))＝1，则a＝__________.【解析】因为f(1)＝lg1＝0，且3t2dt＝t3|＝a3－03＝a3，所以f(0)＝0＋a3＝1，所以a＝1.【答案】14．计算：(2|x|＋1)dx＝__________.【解析】(2|x|＋1)dx＝(－2x＋1)dx＋(2x＋1)dx＝(－x2＋x)|＋(x2＋x)|＝－(－4－2)＋(4＋2)＝12.【答案】125．已知f(x)＝(12t＋4a)dt，F(a)＝f(x)＋3a2]dx，求函数F(a)的最小值．【解】因为f(x)＝(12t＋4a)dt＝(6t2＋4at)|＝6x2＋4ax－(6a2－4a2)＝6x2＋4ax－2a2，F(a)＝f(x)＋3a2]dx＝(6x2＋4ax＋a2)dx＝(2x3＋2ax2＋a2x)|＝2＋2a＋a2＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1≥1.所以当a＝－1时，F(a)的最小值为1.3
