命题角度2：函数的单调性与极值、最值的综合应用1.已知函数，.（Ⅰ）若，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）探究函数的极值点情况，并说明理由.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）先求函数导数，根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式写出切线方程（2）先求导数，转化研究函数,利用导数易得先减后增，讨论与两个端点值以及最小值点大小关系，确定极值点情况.（i）当，即时，恒成立，函数在区间上无极值点；（ii）当，即时，有两不同解，函数在上有两个极值点；（iii）当，即时，有一解，函数在区间上有一个极值点；（iv）当，即时，，函数在区间上无极值点.2.已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极小值，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：(1)利用导函数可得切线的斜率为，然后由点斜式可得切线方程为；(2)首先对g(x)求导，然后分类讨论可得实数的取值范围为.①当时，，函数单调递增，所以当时，，当时，，所以在处取得极小值，满足题意.②当时，，当时，，故函数单调递增，可得当时，时，，所以在处取得极小值，满足题意.③当时，当时，，在内单调递增，时，在内单调递减，所以当时，单调递减，不合题意.④当时，即，当时，单调递减，，当时，单调递减，，所以在处取得极大值，不合题意.综上可知，实数的取值范围为.3.设函数（），，(Ⅰ)试求曲线在点处的切线l与曲线的公共点个数；(Ⅱ)若函数有两个极值点，求实数a的取值范围．（附：当，x趋近于0时，趋向于）【答案】（1）两个公共点；（2）．【解析】试题分析：（1）计算出及，根据点斜式可得切线方程，将切线方程与联立可得方程，设，对其求导，可得其在内的单调性，结合，，可得零点个数；（2）题意等价于在至少有两不同根，当时，是的根，根据图象的交点可知有一个零点，除去同根；当显然不合题意；当时，题意等价于在至少有两不同根，对其求导判断单调性，考虑极值与两端的极限值可得结果.试题解析：（1） ，，切线的斜率为，∴切线的方程为，即，联立，得；设，则，由及，得或，∴在和上单调递增，可知在上单调递减，又，，所以，，∴方程有两个根：1和，从而切线与曲线有两个公共点．②当时，在仅一根，所以不合题意；--9分③当时，需在至少有两不同根，由，得，所以在上单调递增，可知在上单调递减，因为，趋近于0时，趋向于，且时，，由题意知，需，即，解得，∴．综上知，．4.已知函数.（1）若是的单调递增函数，求实数的取值范围；（2）当时，求证：函数有最小值，并求函数最小值的取值范围.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．【解析】试题分析：（1）函数单调递增等价于导函数，再利用变量分离转化为求对应函数最值问题：的最大值，最后根据导数求对应函数最值，即得实数的取值范围；(2)实质证明函数当时先减后增，也即函数有极小值点，并在此极小值点处取最小值，此时要用零点存在定理说明极值点存在.求出函数极小值表达式，即最小值表达式，利用导数研究最小值表达式单调性，并根据极小值点范围确定最小值取值范围.试题解析：（Ⅰ） 函数在区间上单调递增，.∴，∴，令，，∴，∴.（Ⅱ）∴∴∴，，，，，∴．由（Ⅰ）知在上单调递减，，且，∴．∴，，∴，,∴的最小值的取值范围是．5.已知函数．（1）当，取一切非负实数时，若，求的范围；（2）若函数存在极大值，求的最小值．【答案】（1）（2）试题解析：（1）当时，，恒成立等价于恒成立，令，，，当时，恒成立，即在内单调递减，故，可得在内单调递减，故.（2），①当时，，所以，所以在上为单增函数，无极大值；②当时，设方程的根为，则有，即，所以在上为增函数，在上为减函数，所以的极大值为，即，因为，所以，令则，设，则，令，得，所以在上为减函数，在上为增函数，所以得最小值为，即的最小值为-1，此时．点睛：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，由，得函数单调递增，得函数单调递减；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.6.已知函数，其中.（1）若在上存在极值点，求的取值范围；（2...
