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高考数学 命题角度6.2 函数的单调性与极值、最值的综合应用大题狂练 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

高考数学 命题角度6.2 函数的单调性与极值、最值的综合应用大题狂练 理-人教版高三全册数学试题_第1页
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命题角度2:函数的单调性与极值、最值的综合应用1.已知函数,.(Ⅰ)若,求曲线在处的切线方程;(Ⅱ)探究函数的极值点情况,并说明理由.【答案】(1)(2)见解析【解析】试题分析:(1)先求函数导数,根据导数几何意义得切线斜率,再根据点斜式写出切线方程(2)先求导数,转化研究函数,利用导数易得先减后增,讨论与两个端点值以及最小值点大小关系,确定极值点情况.(i)当,即时,恒成立,函数在区间上无极值点;(ii)当,即时,有两不同解,函数在上有两个极值点;(iii)当,即时,有一解,函数在区间上有一个极值点;(iv)当,即时,,函数在区间上无极值点.2.已知函数.(1)若,求曲线在点处的切线方程;(2)若在处取得极小值,求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】试题分析:(1)利用导函数可得切线的斜率为,然后由点斜式可得切线方程为;(2)首先对g(x)求导,然后分类讨论可得实数的取值范围为.①当时,,函数单调递增,所以当时,,当时,,所以在处取得极小值,满足题意.②当时,,当时,,故函数单调递增,可得当时,时,,所以在处取得极小值,满足题意.③当时,当时,,在内单调递增,时,在内单调递减,所以当时,单调递减,不合题意.④当时,即,当时,单调递减,,当时,单调递减,,所以在处取得极大值,不合题意.综上可知,实数的取值范围为.3.设函数(),,(Ⅰ)试求曲线在点处的切线l与曲线的公共点个数;(Ⅱ)若函数有两个极值点,求实数a的取值范围.(附:当,x趋近于0时,趋向于)【答案】(1)两个公共点;(2).【解析】试题分析:(1)计算出及,根据点斜式可得切线方程,将切线方程与联立可得方程,设,对其求导,可得其在内的单调性,结合,,可得零点个数;(2)题意等价于在至少有两不同根,当时,是的根,根据图象的交点可知有一个零点,除去同根;当显然不合题意;当时,题意等价于在至少有两不同根,对其求导判断单调性,考虑极值与两端的极限值可得结果.试题解析:(1) ,,切线的斜率为,∴切线的方程为,即,联立,得;设,则,由及,得或,∴在和上单调递增,可知在上单调递减,又,,所以,,∴方程有两个根:1和,从而切线与曲线有两个公共点.②当时,在仅一根,所以不合题意;--9分③当时,需在至少有两不同根,由,得,所以在上单调递增,可知在上单调递减,因为,趋近于0时,趋向于,且时,,由题意知,需,即,解得,∴.综上知,.4.已知函数.(1)若是的单调递增函数,求实数的取值范围;(2)当时,求证:函数有最小值,并求函数最小值的取值范围.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】试题分析:(1)函数单调递增等价于导函数,再利用变量分离转化为求对应函数最值问题:的最大值,最后根据导数求对应函数最值,即得实数的取值范围;(2)实质证明函数当时先减后增,也即函数有极小值点,并在此极小值点处取最小值,此时要用零点存在定理说明极值点存在.求出函数极小值表达式,即最小值表达式,利用导数研究最小值表达式单调性,并根据极小值点范围确定最小值取值范围.试题解析:(Ⅰ) 函数在区间上单调递增,.∴,∴,令,,∴,∴.(Ⅱ)∴∴∴,,,,,∴.由(Ⅰ)知在上单调递减,,且,∴.∴,,∴,,∴的最小值的取值范围是.5.已知函数.(1)当,取一切非负实数时,若,求的范围;(2)若函数存在极大值,求的最小值.【答案】(1)(2)试题解析:(1)当时,,恒成立等价于恒成立,令,,,当时,恒成立,即在内单调递减,故,可得在内单调递减,故.(2),①当时,,所以,所以在上为单增函数,无极大值;②当时,设方程的根为,则有,即,所以在上为增函数,在上为减函数,所以的极大值为,即,因为,所以,令则,设,则,令,得,所以在上为减函数,在上为增函数,所以得最小值为,即的最小值为-1,此时.点睛:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,由,得函数单调递增,得函数单调递减;考查恒成立问题,正确分离参数是关键,也是常用的一种手段.通过分离参数可转化为或恒成立,即或即可,利用导数知识结合单调性求出或即得解.6.已知函数,其中.(1)若在上存在极值点,求的取值范围;(2...

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