第一章1.31.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质A级基础巩固一、选择题1．若(3－)n的展开式中各项系数之和为256，则展开式的常数项是(C)A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项[解析]令x＝1，得出(3－)n的展开式中各项系数和为(3－1)n＝256，解得n＝8；∴(3－)8的展开式通项公式为：Tr＋1＝C·(3)8－r·(－)r＝(－1)r·38－r·C·x4－r，令4－r＝0，解得r＝4．∴展开式的常数项是Tr＋1＝T5，即第5项．故选C．2．若9n＋C·9n－1＋…＋C·9＋C是11的倍数，则自然数n为(A)A．奇数B．偶数C．3的倍数D．被3除余1的数[解析]9n＋C·9n－1＋…＋C·9＋C＝(9n＋1＋C9n＋…＋C92＋C9＋C)－＝(9＋1)n＋1－＝(10n＋1－1)是11的倍数，∴n＋1为偶数，∴n为奇数．3．(2018·黄浦区二模)二项式(＋)40的展开式中，其中是有理项的项数共有(B)A．4项B．7项C．5项D．6项[解析]二项式(＋)40的展开式的通项为Tr＋1＝C·()40－r·()r＝C·x． 0≤r≤40，且r∈N，∴当r＝0、6、12、18、24、30、36时，∈Z．∴二项式(＋)40的展开式中，其中是有理项的项数共有7项．故选B．4．若a为正实数，且(ax－)2016的展开式中各项系数的和为1，则该展开式第2016项为(D)A．B．－C．D．－[解析]由条件知，(a－1)2016＝1，∴a－1＝±1， a为正实数，∴a＝2．∴展开式的第2016项为：T2016＝C·(2x)·(－)2015＝－2C·x－2014＝－4032x－2014，故选D．5．若二项式(2x＋)7的展开式中的系数是84，则实数a＝(C)A．2B．C．1D．[解析]二项式(2x＋)7的通项公式为Tr＋1＝C(2x)7－r()r＝C27－rarx7－2r，令7－2r＝－3，得r＝5.故展开式中的系数是C22a5＝84，解得a＝1．16．(2016·南安高二检测)233除以9的余数是(A)A．8B．4C．2D．1[解析]233＝(23)11＝(9－1)11＝911－C910＋C99＋…＋C9－1＝9(910－C99＋…＋C－1)＋8，∴233除以9的余数是8.故选A．二、填空题7．若n展开式的各项系数之和为32，则n＝__5__，其展开式中的常数项为__10__(用数字作答)．[解析]令x＝1，得2n＝32，得n＝5，则Tr＋1＝C·(x2)5－r·r＝C·x10－5r，令10－5r＝0，r＝2.故常数项为T3＝10．8．已知(x－)8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是__1或38__．[解析]Tr＋1＝Cx8－r(－)r＝(－a)r·C·x8－2r，令8－2r＝0得r＝4，由条件知，a4C＝1120，∴a＝±2，令x＝1得展开式各项系数的和为1或38．9．在二项式(＋)n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则n＝__3__．[解析]由题意可知，B＝2n，A＝4n，由A＋B＝72，得4n＋2n＝72，∴2n＝8，∴n＝3．三、解答题10．设(1－2x)2017＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2017x2017(x∈R)．(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2017的值；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2017的值；(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2017|的值．[解析](1)令x＝1，得：a0＋a1＋a2＋…＋a2017＝(－1)2017＝－1①(2)令x＝－1，得：a0－a1＋a2－…－a2017＝32017②①－②得：2(a1＋a3＋…＋a2015＋a2017)＝－1－32017，∴a1＋a3＋a5＋…＋a2017＝－．(3) Tr＋1＝C·12017－r·(－2x)r＝(－1)r·C·(2x)r，∴a2k－1<0(k∈N*)，a2k>0(k∈N*)．∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2017|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2016－a2017＝32017．B级素养提升一、选择题1．若n为正奇数，则7n＋C·7n－1＋C·7n－2＋…＋C·7被9除所得的余数是(C)A．0B．2C．7D．8[解析]原式＝(7＋1)n－C＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C·9n－1＋C·9n－2－…＋C·9(－21)n－1＋(－1)n－1，n为正奇数，(－1)n－1＝－2＝－9＋7，则余数为7．2．(2016·上饶市高二检测)设函数f(x)＝(2x＋a)n，其中n＝6∫0cosxdx，＝－12，则f(x)的展开式中x4的系数为(B)A．－240B．240C．－60D．60[解析] n＝6∫0cosxdx＝6sinx|0＝6，∴f(x)＝(2x＋a)6，∴f′(x)＝12(2x＋a)5， ＝－12，∴＝－12，∴a＝－1．∴f(x)＝(2x－1)6．其展开式的通项Tr＋1＝C(2x)6－r(－1)r＝(－1)rC·26－rx6－r，令6－r＝4得r＝2，∴f(x)展开式中x4的系数为(－1)2C·24＝240，故选B．二、填空题3．观察下列等式：(1＋x＋x2)1＝1＋x＋x2，(1＋x＋x2)2＝1＋2x＋3x2＋2x3＋x4，(1＋x＋x2)3＝1＋3x＋6x2＋7x3＋6x4＋...
