高考数学复习点拨 复数题的求解策略与技巧VIP免费

复数题的求解策略与技巧由于复数问题设计面广，解题方法灵活，因此，在解题时必须研究策略与技巧，以求做到选择捷径，避繁就简，合理解题．下面举例介绍解复数问题的常见策略与技巧．一、整体代入在涉及到若干个量的求值时，不必把每个量都具体求出来，可以把它们当作整体来求，这样，就能避免由局部运算所带来的麻烦．例1如虚数z满足z3=8，求z3＋z2＋2z＋2的值．解：∵z3=8，即z3－23=0，∴(z－2)(z2＋2z＋4)=0，∵z为虚数，∴z－2≠0，∴z2＋2z＋4=0，∴z3＋z2＋2z＋2=z3＋(z2＋2z＋4)－2=8＋0－2=6．二、整体换元有些复数问题，注意其整体结构，可以采用整体换元，改变解题角度，这样能避免冗长的运算，使问题简化．例2求同时满足下列两个条件的所有复数z：⑴z＋10z是实数，且1＜z＋10z≤6；⑵z的实部和虚部都是整数．解：设z＋10z=u，则z2－uz＋10=0，这是一个关于z的实系数一元二次方程，由1＜u≤6知，其判别式△=2u－40＜0，所以方程z2－uz＋10=0只有一对共轭虚根：z=2u±2402ui．又有条件⑵知，u只能取2，6，经验证，易得所求复数为1±3i，3±i．三、引入参数通过引入参变量架起已知通向未知的桥梁，这样，把问题转化为对参变量的讨论．这种方法运用的巧妙，可以达到化难为易、化繁为简、化生为熟、化未知为已知的效果．例3设z为复数，若(1)(2)izizR，求z所对应的点的轨迹．用心爱心专心解：令(1)(2)iziz=k(kR)，当k≠0时，设z=x＋yi(x、yR)，则(－x－y)＋(x－y)i=－ky＋k(x－2)i，由复数相等条件得：,(2).xykyxykx()xyxy=2yx(x－1)2＋(y－1)2=2．所以复数z所对应的点的轨迹是以(1，1)为圆心，以2为半径的圆．当k=0时，复数z所对应的点的轨迹是原点．四、化归实数将复数问题实数化，或将其转化为平面直角坐标系下的轨迹问题，就可降低解题难度，简化解题过程．例4已知复数z满足|z－3－5i|=1，复数u满足|u－1|＋|u－5|=45，求|z－u|的最值．解：椭圆|u－1|＋|u－5|=45的中心坐标为(3，0)，a=25，c=2，b=4，故椭圆的方程为22(3)12016xy，对此方程参数化，令325cos,4sin.xy(为参数)点(3＋25cos，4sin)到圆心(3，5)的距离为：d=22(25cos)(4sin5)=24(sin5)145，当sin=－1时d取得最大值9；当sin=1时d取得最小值1，所以|z－u|的最大值为9＋1=10，最小值为1－1=0．用心爱心专心