高考数学大二轮复习 专题7 立体几何 第2讲 综合大题部分增分强化练 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第2讲综合大题部分1．(2018·高考全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥PABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．解析：(1)证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2.如图，连接OB.因为AB＝BC＝AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC知，PO⊥平面ABC.(2)如图，作CH⊥OM，垂足为H，又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC＝AC＝2，CM＝BC＝，∠ACB＝45°，所以OM＝，CH＝＝.所以点C到平面POM的距离为.2．(2018·高考全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．(1)证明：平面AMD⊥平面BMC.(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．解析：(1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.(2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.证明如下：连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．连接OP，因为P为AM中点，所以MC∥OP.又MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD.3．(2018·高考全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝DA，求三棱锥QABP的体积．解析：(1)证明：由已知可得，∠BAC＝90°，即BA⊥AC.又BA⊥AD，所以AB⊥平面ACD.又AB⊂平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.(2)由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3.又BP＝DQ＝DA，所以BP＝2.如图，过点Q作QE⊥AC，垂足为E，则QE綊DC.由已知及(1)可得，DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE＝1.因此，三棱锥QABP的体积为VQABP＝×S△ABP×QE＝××3×2sin45°×1＝1.4．如图，在多面体ABCPE中，平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，PE∥BC,2PE＝BC，M是线段AE的中点，N是线段PA上一点，且满足AN＝λAP(0<λ<1)．(1)若λ＝，求证：MN⊥PC；(2)是否存在λ，使得三棱锥MACN与三棱锥BACP的体积比为1∶12？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)证明：若λ＝，则N是线段PA的中点．因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，AC⊥BC，BC⊂平面ABC，所以BC⊥平面PAC.因为M是线段AE的中点，N是线段PA的中点，所以MN∥PE，又PE∥BC，所以MN∥BC，所以MN⊥平面PAC.因为PC⊂平面PAC，所以MN⊥PC.(2)存在λ＝，使得三棱锥MACN与三棱锥BACP的体积比为1∶12.理由如下：由(1)知，BC⊥平面PAC，所以三棱锥BACP的体积VBACP＝S△ACP·BC，因为M是线段AE的中点，所以点M到平面ACP的距离等于点E到平面ACP的距离的一半，因为AN＝λAP(0<λ<1)，所以S△ACN＝λS△ACP，又2PE＝BC，所以三棱锥MACN的体积VMACN＝S△ACN·(PE)＝λS△ACP·(BC)＝λS△ACP·BC.因为三棱锥MACN与三棱锥BACP的体积比为1∶12，所以＝，解得λ＝.