2017届高考数学二轮复习第一部分专题篇专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第六讲导数应用(二)课时作业文1．已知函数f(x)＝x2－2alnx＋(a－2)x，a∈R.(1)当a＝1时，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程．(2)是否存在实数a，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2有>a恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．解析：(1)函数f(x)＝x2－2alnx＋(a－2)x，f′(x)＝x－＋(a－2)＝(x>0)．当a＝1时，f′(x)＝，f′(1)＝－2，则所求的切线方程为y－f(1)＝－2(x－1)，即4x＋2y－3＝0.(2)假设存在这样的实数a满足条件，不妨设0
a知f(x2)－ax2>f(x1)－ax1成立，令g(x)＝f(x)－ax＝x2－2alnx－2x，则函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，则g′(x)＝x－－2≥0，即2a≤x2－2x＝(x－1)2－1在(0，＋∞)上恒成立，则a≤－.故存在这样的实数a满足题意，其取值范围为.2．已知函数f(x)＝xlnx－(x－1)(ax－a＋1)(a∈R)．(1)若a＝0，判断函数f(x)的单调性；(2)若x>1时，f(x)<0恒成立，求a的取值范围．解析：(1)若a＝0，f(x)＝xlnx－x＋1，f′(x)＝lnx.∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．(2)由题意知f(x)＝xlnx－(x－1)(ax－a＋1)<0在(1，＋∞)上恒成立．①若a＝0，则f(x)＝xlnx－x＋1，f′(x)＝lnx>0在x∈(1，＋∞)上恒成立，∴f(x)为(1，＋∞)上的增函数，∴f(x)>f(1)＝0，即f(x)<0不成立．∴a＝0不合题意．②若a≠0， x>1，∴只需＝lnx－<0在(1，＋∞)上恒成立．记h(x)＝lnx－，x∈(1，＋∞)，则h′(x)＝－＝－，x∈(1，＋∞)．由h′(x)＝0，得x1＝1，x2＝.若a<0，则x2＝<1＝x1，∴h′(x)>0在(1，＋∞)上恒成立，故h(x)为增函数，∴h(x)>h(1)＝0，不合题意．若00，h(x)为增函数，∴h(x)>h(1)＝0，不合题意，若a≥，x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)为减函数，∴h(x)1时，f(x)<0恒成立，则a≥.3．(2016·长沙一模)某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定对这种食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克，根据市场调查，当16≤x≤24时，这种食品市场日供应量p万千克与市场日需求量q万千克近似地满足关系：p＝2(x＋4t－14)(x≥16，t≥0)，q＝24＋8ln(16≤x≤24)．当p＝q时的市场价格称为市场平衡价格．(1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域．(2)为使市场平衡价格不高于每千克20元，政府补贴至少为每千克多少元？解析：(1)由p＝q得2(x＋4t－14)＝24＋8ln(16≤x≤24，t≥0)．t＝－x＋ln(16≤x≤24)． t′＝－－<0，∴t是x的减函数．∴tmin＝－×24＋ln＝＋ln＝＋ln；tmax＝－×16＋ln＝＋ln，∴值域为.(2)由(1)知t＝－x＋ln(16≤x≤24)．而x＝20时，t＝－×20＋ln＝1.5(元/千克)， t是x的减函数，欲使x≤20，必须t≥1.5(元/千克)，要使市场平衡价格不高于每千克20元，政府补贴至少为1.5元/千克．4．已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝－4lnx的零点个数．解析：(1) f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，∴f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0. a>0，f(x)＝a[(x－1)2－4]≥－4且f(1)＝－4a，∴f(x)min＝－4a＝－4，∴a＝1.故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.(2) g(x)＝－4lnx＝x－－4lnx－2(x>0)，∴g′(x)＝1＋－＝.x，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下：x(0,1)1(1,3)3(3，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)单调增加极大值单调减少极小值单调增加当025－1－22＝9>0，故函数g(x)只有1个零点，且零点x0∈(3，e5)．5．设函数f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲线y＝f(x)过点P(1,0)，且在P点处的切线的斜率为2.(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)≤2x－2.解析：(1)f′(x)＝1＋2ax＋，由条件知即∴a＝－1，b＝3.(2)证明：f(x)的定义域为(0，＋∞)．由(1)知f(x)＝x－x2＋3lnx.设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2...
