第1课时椭圆的简单几何性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为()A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝1【答案】A[由题意知，解得因此所求椭圆的方程为＋＝1.]2．椭圆＋＝1与＋＝1(0b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为()A．B．C．D．【答案】D[在Rt△ABF中，|AB|＝，|BF|＝a，|AF|＝a＋c，由|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2.将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，即e2＋e－1＝0,解得e＝，因为0b>0)由题意得解得因此所求椭圆方程为＋＝1.]8．已知P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，则m2＋n2的取值范围是________.【答案】[1,2][因为P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，所以m2＋＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1，所以1≤2－m2≤2，所以1≤m2＋n2≤2.]三、解答题9．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)与x轴交于点A，以OA为边作等腰三角形OAP，其顶点P在椭圆上，且∠OPA＝120°，求椭圆的离心率．【答案】不妨设A(a,0)，点P在第一象限内，由题意知，点P的横坐标是，设P，由点P在椭圆上，得＋＝1，y2＝b2，即P，又∠OPA＝120°，所以∠POA＝30°，故tan∠POA＝＝，所以a＝3b，所以e＝＝＝＝.10．已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆的中心在原点，左焦点为F1(－，0)，且右顶点为D(2,0)．设点A的坐标是.(1)求该椭圆的标准方程．(2)若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程.【答案】(1)因为a＝2，c＝，所以b＝＝1.所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)设P(x0，y0)，M(x，y)，由中点坐标公式，得所以又因为＋y＝1，所以＋＝1，即为中点M的轨迹方程．1．已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点，且PF⊥x轴，若|PF|＝|AF|，则该椭圆的离心率是()A.B．C．D.【答案】B[由于PF⊥x轴，则令x＝－c，代入椭圆方程，解得，y2＝b2＝，y＝±，又|PF|＝|AF|，即＝(a＋c)，即有4(a2－c2)＝a2＋ac，即有(3a－4c)(a＋c)＝0，提升篇2则e＝＝，故选B.]2．“m＝3”是“椭圆＋＝1的离心率为”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A[椭圆＋＝1的离心率为，当04时，＝，得m＝，即“m＝3”是“椭圆＋＝1的离心率为”的充分不必要条件．]3．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆C的标准方程为________．【答案】＋＝1[由题意知，解得则b2＝3，故所求椭圆方程为＋＝1.]4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若AP＝2PB，则椭圆的离心率是________．【答案】[由AP＝2PB，得|AO|＝2|FO|(O为坐标原点)，即a＝2c，则离心率e＝.]5．已知点A，B分别是椭圆＋＝1的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，且M到...
