2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.2导数与函数的单调性、极值、最值真题演练集训理新人教A版1．[2015·新课标全国卷Ⅱ]设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(0,1)B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1,0)D．(0,1)∪(1，＋∞)答案：A解析：设y＝g(x)＝(x≠0)，则g′(x)＝，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，∴g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0. f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，∴g(x)的图象的示意图如图所示．当x＞0，g(x)＞0时，f(x)＞0,0＜x＜1；当x＜0，g(x)＜0时，f(x)>0，x＜－1.∴使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.2．[2015·福建卷]若定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝－1，其导函数f′(x)满足f′(x)>k>1，则下列结论中一定错误的是()A．fC．f答案：C解析：令g(x)＝f(x)－kx＋1，则g(0)＝f(0)＋1＝0，g＝f－k·＋1＝f－. g′(x)＝f′(x)－k>0，∴g(x)在[0，＋∞)上为增函数．又k>1，∴>0，∴g>g(0)＝0.∴f－>0，1即f>.3．[2014·新课标全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是()A．(2，＋∞)B．(－∞，－2)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)答案：B解析：f′(x)＝3ax2－6x，当a＝3时，f′(x)＝9x2－6x＝3x(3x－2)，则当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0.注意f(0)＝1，f＝>0，则f(x)的大致图象如图所示．不符合题意，排除A，C.当a＝－时，f′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，则当x∈时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0，；当∈(0，＋∞)时，f′(x)<0.注意f(0)＝1，f＝－，则f(x)的大致图象如图所示．不符合题意，排除D.4．[2014·新课标全国卷Ⅱ]设函数f(x)＝sin.若存在f(x)的极值点x0满足x＋[f(x0)]23，其中k∈Z.由题意，存在整数k使得不等式m2>3成立．当k≠－1且k≠0时，必有2>1，此时不等式显然不能成立，故k＝－1或k＝0，此时，不等式即为m2>3，解得m<－2或m>2.5．[2013·新课标全国卷Ⅱ]已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是()A.∃x0∈R，f(x0)＝0B.函数y＝f(x)的图象是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D.若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0答案：C解析：由三次函数的值域为R知f(x)＝0有解，所以A项正确；因为y＝x3的图象为中心对称图形，而f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象可以由y＝x3的图象平移得到，故B项正确；若f(x)有极小值点，则f′(x)＝0有两个不等实根x1，x2(x10时，(x－2)ex＋x＋2>0；(2)证明：当a∈[0,1)时，函数g(x)＝(x>0)有最小值．设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域．(1)解：f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)．f′(x)＝＝≥0，当且仅当x＝0时，f′(x)＝0，所以f(x)在(－∞，－2)，(－2，＋∞)上单调递增．因此当x∈(0，＋∞)时，f(x)>f(0)＝－1.所以(x－2)ex>－(x＋2)，(x－2)ex＋x＋2>0.(2)证明：g′(x)＝＝[f(x)＋a]．由(1)知f(x)＋a单调递增．对任意的a∈[0,1)，f(0)＋a＝a－1<0，f(2)＋a＝a≥0.因此，存在唯一xa∈(0,2]，使得f(xa)＋a＝0，即g′(xa)＝0.当0xa时，f(x)＋a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增．因此g(x)在x＝xa处取得最小值，最小值为g(xa)＝＝＝.于是h(a)＝，由′＝>0，得y＝单调递增．所以，由xa∈(0,2]，得＝
