课时跟踪检测（二十）二项式定理[课下梯度提能]一、基本能力达标1．(x＋2)n的展开式共有12项，则n等于()A．9B．10C．11D．8解析：选C∵(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有12项，∴n＝11.2．化简多项式(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1的结果是()A．(2x＋2)5B．2x5C．(2x－1)5D．32x5解析：选D原式＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.3．二项式5的展开式中的二项式系数为()A．1B．5C．10D．20解析：选C5的展开式的通项为Tr＋1＝Cx5－rr＝rCx5－2r，令5－2r＝－1，得r＝3，所以展开式中的二项式系数为C＝10.选C.4．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中x5的系数是()A．－297B．－252C．297D．207解析：选Dx5应是(1＋x)10中含x5项与含x2项．∴其系数为C＋C(－1)＝207.5．如果n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为()A．3B．5C．6D．10解析：选Bn展开式的通项表达式为C(3x2)n－r·r＝C3n－r(－2)rx2n－5r，若C3n－r(－2)rx2n－5r为非零常数项，必有2n－5r＝0，得n＝r，所以正整数n的最小值为5.6．若(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝______.(用数字填写答案)解析：二项展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx10－rar，当10－r＝7时，r＝3，T4＝Ca3x7，则Ca3＝15，故a＝.答案：7．二项式5的展开式中的常数项为________．解析：∵Tr＋1＝C(－1)rx15－5r，令15－5r＝0，∴r＝3.故展开式中的常数项为C(－1)3＝－10.答案：－108.5(x>0)的展开式中的常数项为________．解析：5(x>0)可化为10，因而Tr＋1＝C10－r()10－2r，令10－2r＝0，得r＝5，故展开式中的常数项为C·5＝.答案：9．求(－2y3)7的第4项，指出第4项的二项式系数与第4项的系数分别是什么？解：∵T4＝C()7－3(－2y3)3＝Cx2(－2)3y9＝－280x2y9，∴第四项的二项式系数为C＝35，第四项的系数为－280.10．已知n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中含x项的系数及二项式系1数．解：n展开式的通项公式为Tr＋1＝C·()n－rr＝rCx.由题意知，C，C，C成等差数列，则C＝C＋C，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(舍去)．∴Tr＋1＝rCx4－r.令4－r＝1，得r＝3.∴含x项的系数为3C＝7，二项式系数为C＝56.二、综合能力提升1.n的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44，则展开式中的常数项是()A．第3项B．第4项C．第7项D．第8项解析：选B由于第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44，可得C－C＝44，解得n＝11或n＝－8(舍去)，由二项展开式的通项公式得Tr＋1＝Cx(11－r)·x－4r＝Cx，令＝0，得r＝3，故r＋1＝4.2．(1＋x＋x2)6的展开式中的常数项为________．解析：6的展开式中，Tr＋1＝Cx6－r·r＝(－1)rCx6－2r，令6－2r＝0，得r＝3，T4＝C(－1)3＝－C，令6－2r＝－1，得r＝(舍去)，令6－2r＝－2，得r＝4，T5＝C(－1)4x－2，所以(1＋x＋x2)6的展开式中的常数项为1×(－C)＋C＝－20＋15＝－5.答案：－53．若6展开式的常数项为60，则常数a的值．解：二项式6展开式的通项公式是Tr＋1＝Cx6－r(－)rx－2r＝Cx6－3r(－)r.当r＝2时，Tr＋1为常数项，即常数项是Ca，根据已知Ca＝60，解得a＝4.4．已知(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列．(1)求n的值；(2)写出它展开式中的所有有理项．解：(1)(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是C，C，C.依题意得＋＝2·，化简得90＋(n－9)(n－8)＝20(n－8)，即n2－37n＋322＝0，解得n＝14或n＝23，因为n<15，所以n＝14.(2)展开式的通项Tr＋1＝Cx·x＝C·x，展开式中的有理项当且仅当r是6的倍数，0≤r≤14，所以展开式中的有理项共3项是：r＝0，T1＝Cx7＝x7；r＝6，T7＝Cx6＝3003x6；r＝12，T13＝Cx5＝91x5.23
