专题3平面向量共线定理平面向量共线定理★★★○○○○平面向量共线定理向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.平面向量共线定理的三个应用(1)证明向量共线：对于非零向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线．(2)证明三点共线：若存在实数λ，使�AB＝λ�AC，�AB与�AC有公共点A，则A，B，C三点共线．(3)求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．[提醒]证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．[例]设两个非零向量a和b不共线．(1)若�AB＝a＋b，�BC＝2a＋8b，�CD＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线．(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．[解](1)证明：因为�AB＝a＋b，�BC＝2a＋8b，�CD＝3(a－b)，所以�BD＝�BC＋�CD＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5�AB，所以�AB，�BD共线．又�AB与�BD有公共点B，所以A，B，D三点共线．(2)因为ka＋b与a＋kb共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，1即解得k＝±1.即k＝1或－1时，ka＋b与a＋kb共线．1.已知a，b是不共线的向量，�AB＝λa＋b，�AC＝a＋μb，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充要条件为()A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1C．λμ＝－1D．λμ＝1解析：选D∵A，B，C三点共线，∴�AB∥�AC，设�AB＝m�AC(m≠0)，则λa＋b＝m(a＋μb)，∴∴λμ＝1，故选D.2.已知a，b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同．若a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一直线上，则t＝________.3.(2015·新课标全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，�BC＝3�CD，则()A．�AD＝－�AB＋�ACB．�AD＝�AB－�ACC．�AD＝�AB＋�ACD．�AD＝�AB－�AC解析：选A�AD＝�AC＋�CD＝�AC＋�BC＝�AC＋(�AC－�AB)＝�AC－�AB＝－�AB＋�AC，故选A.1．设M是△ABC所在平面上的一点，且�MB＋�MA＋�MC＝0，D是AC的中点，则的值为()A.B.C．1D．222．在△ABC中，�BD＝3�DC，若�AD＝λ1�AB＋λ2�AC，则λ1λ2的值为()A.B.C.D.解析：选B由题意得，�AD＝�AB＋�BD＝�AB＋�BC＝�AB＋(�AC－�AB)＝�AB＋�AC，∴λ1＝，λ2＝，∴λ1λ2＝.3．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且�DC＝2�BD，�CE＝2�EA，�AF＝2�FB，则�AD＋�BE＋�CF与�BC()A．反向平行B．同向平行C．互相垂直D．既不平行也不垂直解析：选A由题意得�AD＝�AB＋�BD＝�AB＋�BC，�BE＝�BA＋�AE＝�BA＋�AC，�CF＝�CB＋�BF＝�CB＋�BA，因此�AD＋�BE＋�CF＝�CB＋(�BC＋�AC－�AB)＝�CB＋�BC＝－�BC，故�AD＋�BE＋�CF与�BC反向平行．4．已知点O为△ABC外接圆的圆心，且�OA＋�OB＋�CO＝0，则△ABC的内角A等于()A．30°B．45°C．60°D．90°5．已知点G是△ABC的重心，过点G作一条直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且�AM＝x�AB，�AN＝y3�AC，则的值为()A．3B.C．2D.解析：选B由已知得M，G，N三点共线，所以�AG＝λ�AM＋(1－λ)�AN＝λx�AB＋(1－λ)y�AC.∵点G是△ABC的重心，∴�AG＝×(�AB＋�AC)＝(�AB＋�AC)，∴即得＋＝1，即＋＝3，通分得＝3，∴＝.6．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5�AM＝�AB＋3�AC，则△ABM与△ABC的面积的比值为()A.B.C.D.解析：选C设AB的中点为D，如图，连接MD，MC，由5�AM＝�AB＋3�AC，得5�AM＝2�AD＋3�AC①，即�AM＝�AD＋�AC，即＋＝1，故C，M，D三点共线，又�AM＝�AD＋�DM②，①②联立，得5�DM＝3�DC，即在△ABM与△ABC中，边AB上的高的比值为，所以△ABM与△ABC的面积的比值为.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________4
