高考数学复习点拨 三角函数图象的对称性VIP免费

三角函数图象的对称性三角函数图象的对称性教材中并没有进行专门的讨论，但在以往的统考和高考中却经常出现有关对称性的题目，所以我们有必要把这个问题搞清楚．一、结论１．函数sincosyxyx，的图象既是中心对称图形（关于某点对称），又是轴对称图形（关于某直线对称），sinyx的对称中心是(π0)k，，kZ，对称轴为ππ2xkkZ，．特殊地，原点是其一个对称中心．cosyx的对称中心是ππ02k，，kZ，对称轴为πxk，kZ．特殊地，y轴是其一条对称轴．2．函数tanyx的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，其对称中心为π02k，kZ．二、应用１．正向应用所谓正向应用即直接告诉我们函数解析式，求函数的对称轴方程或对称中心坐标，或利用对称性解决其他问题．例１函数π3sin23yx的对称轴方程是（）Ａ．ππ212kxkZ，Ｂ．π2π12xkkZ，Ｃ．ππ3xkkZ，Ｄ．π2π3xkkZ，解：令ππ2π32xk，得ππ212kxkZ，．故选（Ａ）．说明：对于函数sin()(00)yAxA，的对称性，可令x，转化为函数sinyA的对称性求解．例2由函数2sin3yx，π5π66x≤≤与函数2yxR，的图象围成一个封闭图形，求这个封闭图形的面积．解：如图，根据对称性，所围成封闭图形的面积等价于矩形ABCD的面积，所以封闭图形的面积5ππ4π2663S．说明：此题所求面积的图形不是常见规则图形，根据图象对称性转化为常见图形———矩形，既熟悉又易求，体现了数形结合，等价转化等数学思想．２．逆向应用所谓逆向应用即知道函数的对称性，求函数解析式中的参数的取值．例３函数()cos(3)fxxxR，的图象关于原点中心对称，则（）Ａ．π3Ｂ．ππ2kkZ，Ｃ．πkkZ，Ｄ．π2π2kkZ，用心爱心专心解：∵函数图象关于原点中心对称，且xR，∴函数图象过原点，即(0)0f．cos0，即ππ2kkZ，．故选（Ｂ）．3．综合运用例４已知函数()sin()(00π)fxx，≤≤是R上的偶函数，其图象关于点3π04M，对称，且在区间π02，上是单调函数，求和的值．解：()fx是偶函数，y轴是其对称轴，即y轴经过函数图象的波峰或波谷，(0)sin1f，又0π≤≤，π2．由()fx的图象关于点3π04M，对称，3π04f，即3ππ3πsincos0424，又0，3πππ01242kk，，，…．2(21),0,1,2,3kk当0k时，23，2π2()sincos323fxxx在π02，上是减函数；当1k时，2，π()sin2cos22fxxx在π02，上是减函数；当2k≥时，103≥，π()sincos2fxxx在π02，上不是单调函数．综上所述，23或π22，．说明：本题综合考察函数的单调性、奇偶性及图象的对称性．()fx的图象关于点M对称亦可转化为3π3π44fxfx，再令0x得到3π3π44ff，再得到3π04f．用心爱心专心